1985-全国文-16 解-圆关于直线的对称

本题导读

本题考查圆关于直线的对称圆。核心在于只求圆心的对称点，半径不变。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 已知圆 $C:x^2+y^2+4x-12y+39=0$ 和直线 $L:3x-4y+5=0$. 求圆 $C$ 关于直线 $L$ 对称的圆的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

配方求圆心与半径，再用垂直与中点两条件求对称点。

✅【答案】

Success

$(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方，得 $(x+2{)}^2+(y-6{)}^2=1$，所以圆心为 $O(-2,6)$，半径为 $1$。设对称圆心 $O^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，则 $O{O}^{\prime }$ 垂直于 $L$ 且中点在 $L$ 上。由点关于直线的对称公式（沿法向量方向修正 $2\cdot \frac{3x_0-4y_0+5}{3^2+(-4{)}^2}$ 倍），得 $x^{\prime }=-2-2\times \frac{3\times (-25)}{25}=4$，$y^{\prime }=6-2\times \frac{(-4)\times (-25)}{25}=-2$，其中 $3(-2)-4\times 6+5=-25$。对称圆的半径不变，故所求圆的方程为 $(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆关于直线的对称

核心方法：圆心 $(-2,6)$ 关于 $3x-4y+5=0$ 对称。

避坑指南：对称圆 $(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2007 上海文第 13 题同考圆关于直线对称。

结论推广：圆的对称只须求圆心的对称点，半径不变。

方法推广：点关于直线对称用中点在对称轴上 + 连线垂直于轴两条件联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷文-13 单-圆关于直线对称
• 2009-新课标Ⅰ文-05 单-圆关于直线对称