1984-全国卷理-18 解-解三角形与坐标法求最值

本题导读

本题考查解三角形与坐标法求最值。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A,\angle B,\angle C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $c=10$，$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，$P$ 为 $△ABC$ 的内切圆上的动点.求点 $P$ 到顶点 $A,B,C$ 的距离的平方和的最大值与最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

先证 $△ABC$ 为直角三角形，建系求内切圆方程，再用圆方程消元得线性函数。

✅【答案】

Success

最大值 $88$，最小值 $72$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\sin A}$，结合条件得 $\sin A\cos A=\sin B\cos B\Rightarrow \sin 2A=\sin 2B$。因 $a\ne b\Rightarrow A\ne B$，故 $2A+2B=\pi \Rightarrow A+B=\frac{\pi }{2}$，即 $\angle C=90^{\circ }$。由 $a^2+b^2=c^2=100$ 与 $b=\frac{4}{3}a$ 得 $a=6,b=8$。以 $C$ 为原点、$CB$ 为 $x$ 轴、$CA$ 为 $y$ 轴建系：$C(0,0),B(6,0),A(0,8)$。直角三角形内切圆半径 $r=\frac{a+b-c}{2}=2$，内心 $I(2,2)$，内切圆 $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$。设 $P(x,y)$，$f=|PA{|}^2+|PB{|}^2+|PC{|}^2=[x^2+(y-8{)}^2]+[(x-6{)}^2+y^2]+(x^2+y^2)=3(x^2+y^2)-12x-16y+100$。由圆方程 $x^2+y^2=4x+4y-4$ 代入得 $f=3(4x+4y-4)-12x-16y+100=88-4y$。令 $x=2+2\cos \theta ,y=2+2\sin \theta$，则 $f=88-4(2+2\sin \theta )=80-8\sin \theta$。当 $\sin \theta =-1$ 时 $f_{\max }=88$；$\sin \theta =1$ 时 $f_{\min }=72$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与坐标法求最值

核心方法：解三角形与坐标消元

避坑指南：先证直角，建系求内切圆，再用圆方程把平方和化为线性式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形中的最值问题

结论推广：坐标法把平方和化为线性式

方法推广：圆轨迹上的线性函数最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.07 三角形五心与奔驰定理

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷理-17 解-解三角形
• 2013-广东卷文-15 填-矩形中的解三角形