1984-全国卷理-14 解-空间中平面交线的位置关系

本题导读

本题考查空间中平面交线的位置关系。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 已知三个平面两两相交，有三条交线.求证：这三条交线交于一点或互相平行.

🔍【思路分析】

破题导航

取两交线 $a,b\subset \beta$，分相交、平行两种情况。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

设三平面为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，两两相交于 $a=\alpha \cap \beta ,b=\beta \cap \gamma ,c=\gamma \cap \alpha$。$a,b$ 同在平面 $\beta$ 内，故 $a\parallel b$ 或 $a,b$ 相交。若 $a\cap b=P$，则 $P\in a\subset \alpha$ 且 $P\in b\subset \gamma$，故 $P\in \alpha \cap \gamma =c$，即三线共点 $P$。若 $a\parallel b$，因 $a\subset \alpha ,b\subset \gamma$ 且 $a\not\subset \gamma$，由 $a\parallel b$ 及 $b\subset \gamma$ 得 $a\parallel \gamma$；又 $a\subset \alpha ,\alpha \cap \gamma =c$，故 $a\parallel c$；同理 $b\parallel c$。因此 $a\parallel b\parallel c$，三线互相平行。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间中平面交线的位置关系

核心方法：两交线共面分类

避坑指南：a,b 同在平面 β 内，故相交或平行，分两种情况证明共点或平行

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间平面交线定理

结论推广：三平面交线共点或平行

方法推广：分类讨论的完备性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-辽宁卷-17 解-直线与平面垂直的判定
• 2011-浙江卷文-04 单-直线与平面位置关系