1984-全国卷理-11 解-不相邻排列的插空法

本题导读

本题考查不相邻排列的插空法。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 要排一张有 $6$ 个歌唱节目和 $4$ 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要写出式子，不必计算）.

🔍【思路分析】

破题导航

先排 $6$ 个歌唱节目产生 $7$ 个空位，再从中选 $4$ 个排舞蹈。

✅【答案】

Success

${\mathrm{A}}_6^6\cdot {\mathrm{A}}_7^4$（或 $6!\cdot {\mathrm{A}}_7^4$）

✍【详细解析】

Abstract

先全排列 $6$ 个歌唱节目，有 ${\mathrm{A}}_6^6$ 种。$6$ 个节目排好后形成 $7$ 个空位（含两端），从中选 $4$ 个排 $4$ 个舞蹈节目，有 ${\mathrm{A}}_7^4$ 种。由乘法原理，总排法为 ${\mathrm{A}}_6^6\cdot {\mathrm{A}}_7^4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不相邻排列的插空法

核心方法：插空法

避坑指南：先排无限制元素得 n+1 个空位，再从中选位排受限元素

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不相邻排列

结论推广：插空法保证元素不相邻

方法推广：先排无限制元素再插空

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1989-上海-14 单-分排座位的排列计数
• 2016-全国卷II理-05 单-排列组合