1984-全国卷理-02 单-圆的方程与切线条件

本题导读

本题考查圆的一般方程与切线条件的判定。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 如果圆 $x^2+y^2+Gx+Ey+F=0$ 与 $x$ 轴相切于原点，那么()

A. $F=0,G\ne 0,E\ne 0$

B. $E=0,F=0,G\ne 0$

C. $G=0,F=0,E\ne 0$

D. $G=0,E=0,F\ne 0$

🔍【思路分析】

破题导航

切于原点⇒圆过原点（$F=0$）；与 $x$ 轴相切⇒联立判别式为 $0$（$G=0$）；半径非零⇒$E\ne 0$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆过原点 $(0,0)$，代入得 $F=0$。联立 $y=0$ 得 $x^2+Gx=0$；因与 $x$ 轴相切（仅一个公共点），判别式 $\Delta =G^2=0$，故 $G=0$。此时方程为 $x^2+y^2+Ey=0$，半径 $r=\frac{1}{2}\sqrt{G^2+E^2-4F}=\frac{1}{2}|E|$，要求 $r>0$ 即 $E\ne 0$。故 $G=0,F=0,E\ne 0$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的方程与切线条件

核心方法：几何特征与判别式

避坑指南：过原点得 F=0；与 x 轴相切得判别式为 0；半径非零保 E≠0

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的一般方程的几何特征

结论推广：圆心 (-G/2,-E/2)，半径 ½√(G²+E²-4F)

方法推广：切线条件的代数转化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-安徽文-05 单-圆心到直线距离
• 2002-北京卷文-16 填-圆上点到直线距离