1983-全国理-11 解-椭圆焦点弦长

本题导读

本题考查椭圆焦点弦长随倾斜角的变化，用参数方程代入椭圆求弦长最方便。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） 如图，已知椭圆长轴 $|A_1{A}_2|=6$，焦距 $|F_1{F}_2|=4\sqrt{2}$，过椭圆焦点 $F_1$ 作一直线，交椭圆于两点 $M,N$. 设 $\angle F_2{F}_{1}M=\alpha (0\le \alpha <\pi )$，当 $\alpha$ 取什么值时，$|MN|$ 等于椭圆短轴的长？

🔍【思路分析】

破题导航

由长轴、焦距定椭圆方程；过 $F_1$ 设参数方程代入，用 $|t_1-t_2|$ 表示弦长，令其等于 $2b$ 解 $\alpha$。

✅【答案】

Success

$\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $2a=6\Rightarrow a=3$，$2c=4\sqrt{2}\Rightarrow c=2\sqrt{2}$，故 $b^2=a^2-c^2=1$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$。过左焦点 $F_1(-2\sqrt{2},0)$ 的直线方向角为 $\alpha$，参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \end{array}$ 代入椭圆得 $(1+8{\sin }^2\alpha )t^2-4\sqrt{2}\cos \alpha t-1=0$。弦长 $|MN|=|t_1-t_2|=\frac{6}{1+8{\sin }^2\alpha }$。令其等于短轴长 $2b=2$，得 $1+8{\sin }^2\alpha =3$，即 ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{4}$，故 $\alpha =\frac{\pi }{6}$ 或 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点弦长

核心方法：参数方程与弦长公式

避坑指南：过焦点设参数方程代入椭圆，用 |t1-t2| 表示弦长再令其等于短轴长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆焦点弦

结论推广：焦半径与弦长公式

方法推广：焦点弦长的参数化求法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-重庆文-12 单-椭圆与直线相切定长轴
• 2006-重庆文-11 单-椭圆焦半径等差充要