1982-全国理-07 解-空间四边形的中点四边形

本题导读

本题考查中点四边形（Varignon 平行四边形），关键是利用 $AB=BC$、$CD=DA$ 推出对角线 $AC\perp BD$。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)） 已知空间四边形 $ABCD$ 中 $AB=BC$，$CD=DA$，$M,N,P,Q$ 分别是边 $AB,BC,CD,DA$ 的中点（如图）.求证：$MNPQ$ 是一个矩形.

🔍【思路分析】

破题导航

由中位线定理得 $MNPQ$ 为平行四边形；再由 $AB=BC$、$CD=DA$ 知 $B,D$ 都在 $AC$ 的中垂线上，故 $BD\perp AC$，从而邻边垂直。

✅【答案】

Success

$MNPQ$ 是矩形（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，$M,N$ 为 $AB,BC$ 中点，故 $MN\parallel AC$ 且 $MN=\frac{1}{2}AC$； 在 $△ADC$ 中，$P,Q$ 为 $CD,DA$ 中点，故 $PQ\parallel AC$ 且 $PQ=\frac{1}{2}AC$； 于是 $MN\parallel PQ$ 且 $MN=PQ$，所以 $MNPQ$ 为平行四边形。 又 $AB=BC$ 说明 $B$ 在 $AC$ 的垂直平分线上，$CD=DA$ 说明 $D$ 也在 $AC$ 的垂直平分线上，故直线 $BD$ 就是 $AC$ 的垂直平分线，即 $BD\perp AC$。 而 $MQ\parallel BD$、$MN\parallel AC$，所以 $MQ\perp MN$，即 $\angle QMN=90^{\circ }$。 一个角是直角的平行四边形是矩形，故 $MNPQ$ 为矩形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间四边形的中点四边形

核心方法：中位线定理与垂直平分线

避坑指南：$AB=BC$、$CD=DA$ 使 $B,D$ 同在 $AC$ 的中垂线上，故 $BD\perp AC$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中点四边形（Varignon 定理）

结论推广：任意四边形的中点四边形是平行四边形；对角线垂直时为矩形

方法推广：中位线定理 + 垂直平分线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1957-全国-04 解-四面体中点四边形为菱形
• 1977-新疆文-04 解-四边形中点连线互相平分