1981-全国理-09 解-双曲线中点弦轨迹

本题导读

本题考查双曲线中点弦轨迹与存在性，第(1)问用点差法求轨迹，第(2)问必须用判别式检验“是否存在”。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)） 9. 给定双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$.

(1) 过点 $A(2,1)$ 的直线 $L$ 与所给的双曲线交于两点 $P_1$ 及 $P_2$，求线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $P$ 的轨迹方程；

(2) 过点 $B(1,1)$ 能否作直线 $m$，使 $m$ 与所给双曲线交于两点 $Q_1$ 及 $Q_2$，且点 $B$ 是线段 $Q_1{Q}_2$ 的中点？这样的直线 $m$ 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 设交点 $P_1,P_2$，中点 $P(x,y)$，点差法得斜率 $k=2x/y$；又直线过 $A(2,1)$，斜率也为 $(y-1)/(x-2)$，联立得轨迹 $2x^2-y^2-4x+y=0$。(2) 若 $B(1,1)$ 为中点，点差法给出 $k=2$，直线为 $y=2x-1$；代回双曲线得 $2x^2-4x+3=0$，判别式 $\Delta =-8<0$，矛盾，故不存在。

✅【答案】

Success

(1) $2x^2-y^2-4x+y=0$ (2) 不存在

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$，中点 $P(x,y)$，则 $x_1+x_2=2x$，$y_1+y_2=2y$。 代入双曲线方程相减得 $(x_1^2-x_2^2)-\frac{1}{2}(y_1^2-y_2^2)=0⟹(x_1-x_2)(x_1+x_2)=\frac{1}{2}(y_1-y_2)(y_1+y_2)$。 两边除以 $x_1-x_2$ 得 $2x=y\cdot \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=yk$，故 $k=\frac{2x}{y}$。 又直线 $L$ 过点 $A(2,1)$ 与中点 $P(x,y)$，故 $k=\frac{y-1}{x-2}$。 联立得 $\frac{2x}{y}=\frac{y-1}{x-2}$，整理得 $2x^2-y^2-4x+y=0$。此即为中点 $P$ 的轨迹方程。 (2) 假设存在这样的直线 $m$，且 $B(1,1)$ 为中点。由点差法同样的结论，斜率应为 $k=\frac{2x_B}{y_B}=\frac{2\times 1}{1}=2$。 于是 $m$ 的方程为 $y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。 将其代入双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$： $x^2-\frac{(2x-1{)}^2}{2}=1⟹2x^2-(4x^2-4x+1)=2⟹2x^2-4x+3=0$。 其判别式 $\Delta =(-4{)}^2-4\times 2\times 3=16-24=-8<0$，方程无实根，说明直线 $y=2x-1$ 与双曲线根本没有两个交点，与假设矛盾。 因此，满足条件的直线 $m$ 不存在。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线中点弦轨迹

核心方法：点差法与判别式检验

避坑指南：点差法得斜率关系 $k=2x/y$；问“是否存在”必须代回判别式检验 $\Delta$ 是否大于 $0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线中点弦

结论推广：点差法是中点弦的通用工具，但需判别式把关

方法推广：相关点法求轨迹

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅱ文-22 解-双曲线中点弦与切圆
• 2007-江苏卷-19 解-抛物线切线与中点弦