1980-全国理-08 解-三角不等式与半角公式

本题导读

本题考查三角不等式的证明，利用半角公式与配方法化为完全平方式。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 8. 已知 $0<\alpha <\pi$，证明：$2\sin 2\alpha ⩽\cot \frac{\alpha }{2}$；并讨论 $\alpha$ 为何值时等号成立.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }$，原不等式等价于 $4(1-c^2)c\le 1+c$，配方为 $-(2c-1{)}^2\le 0$；等号当 $\cos \alpha =\frac{1}{2}$ 即 $\alpha =\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

不等式成立；等号当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时取得

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<\alpha <\pi$，所以 $\sin \alpha >0$，且 $\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }$。原不等式等价于 $2\sin 2\alpha \sin \alpha \le 1+\cos \alpha$。 令 $c=\cos \alpha$。利用 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，左端化为 $4{\sin }^2\alpha \cos \alpha =4(1-c^2)c=4(1-c)(1+c)c$。因此只需证明 $(1+c)[4(1-c)c-1]\le 0$。而 $1+c>0$，并且 $4(1-c)c-1=-(2c-1{)}^2\le 0$，所以原不等式成立。 等号成立当且仅当 $(2c-1{)}^2=0$，即 $\cos \alpha =\frac{1}{2}$。在 $0<\alpha <\pi$ 内，得到 $\alpha =\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角不等式与半角公式

核心方法：半角公式与配方

避坑指南：$\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }$，化为 $-(2c-1{)}^2\le 0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1980 年全国卷理科第 8 题，属于”用三角恒等变形证明不等式”的老大纲题型。恢复高考初期这是必考内容，1958 年黑吉辽卷第 6 题考的就是同型的正弦和角不等式。

结论推广：这题有一个更短的走法。把 $\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }$ 代入并通分，左减右恰好等于 $\frac{1+\cos 3\alpha }{\sin \alpha }$，而 $1+\cos 3\alpha ⩾0$、$\sin \alpha >0$，不等式立得；等号落在 $\cos 3\alpha =-1$，即 $\alpha =\frac{\pi }{3}$。两种写法本是同一个式子：$4(1-c^2)c-(1+c)=-(1+\cos 3\alpha )$，而 $1+\cos 3\alpha =2{\cos }^2\frac{3\alpha }{2}$。看到”半角配倍角”，先想三倍角，往往比硬凑平方快。

方法推广：证明形如 $A⩽B$ 的三角不等式，若两边都是同一个角的三角函数式，先移项做差；差能整理成完全平方、或"$1+\cos (\cdot )$"这种非负形式，结论就出来了。等号条件不必另算，它就是那个平方项（或余弦项）取到零的时刻。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1958-黑吉辽-06 解-正弦和角不等式证明
• 1958-黑吉辽-08 解-三角不等式的解集