1980-全国理-07 解-直角三角形中的射影与等比

本题导读

本题考查直角三角形中斜边高的面积关系，结合等比数列条件反求锐角。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 7. $CD$ 为直角 $△ABC$ 中斜边 $AB$ 上的高，已知 $△ACD$、$△CBD$、$△ABC$ 的面积成等比数列，求 $\angle B$（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $CD=h$，$BD=x$，$AB=c$，由面积等比得 $x^2=c(c-x)$，解出 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c$；再由 $A{C}^2=AD\cdot AB=x^2$ 得 $\sin B=AC/AB=x/c$。

✅【答案】

Success

$\angle B=\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $CD=h$，$AB=c$，$BD=x$，则 $AD=c-x$。三个三角形的面积依次为 $\frac{1}{2}h(c-x)$、$\frac{1}{2}hx$、$\frac{1}{2}hc$。由它们成等比数列，得 ${\left(\frac{1}{2}hx\right)}^2=\frac{1}{2}h(c-x)\cdot \frac{1}{2}hc$，约去正数 $\frac{1}{4}{h}^2$，得到 $x^2=c(c-x)$。 整理为 $x^2+cx-c^2=0$，解得 $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}c$。因为 $0<x<c$，只能取正根，所以 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}c$。 由直角三角形斜边上的高的性质，$A{C}^2=AD\cdot AB=c(c-x)$。与前式比较，得 $A{C}^2=x^2$，故 $AC=x$。在直角三角形 $ABC$ 中，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{x}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因为 $B$ 是锐角，所以 $\angle B=\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角三角形中的射影与等比

核心方法：斜边高的面积关系

避坑指南：面积等比得 $x^2=c(c-x)$，解出 $x$ 后由 $\sin B=x/c$ 定角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直角三角形中的比例

结论推广：斜边上的高分割出相似三角形

方法推广：面积法与等比数列

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 1955-全国-03 解-直角三角形垂线比例中项
• 1977-宁夏-10 解-直角三角形求边