1980-全国理-05 解-空间平面的垂直与交线

本题导读

本题考查空间平面垂直的论证，用反证法先证两平面不平行，再用正投影说明交线垂直于 $AB$。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 5. 直升飞机上一点 $P$ 在地面 $M$ 上的正射影是 $A$，从 $P$ 看地面上一物体 $B$（不同于 $A$）. 直线 $PB$ 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 $N$（如图）. 证明：平面 $N$ 必与平面 $M$ 相交，且交线 $l$ 垂直于 $AB$.

🔍【思路分析】

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若 $N\parallel M$，则 $PA\perp N$ 且 $PB\perp N$，两直线重合推出 $A=B$ 矛盾，故 $N$ 与 $M$ 相交；交线 $l$ 同时垂直于 $PA,PB$ 及其投影 $AB$。

✅【答案】

Success

平面 $N$ 与 $M$ 相交，且交线 $l\perp AB$

✍【详细解析】

Abstract

若平面 $N$ 与平面 $M$ 平行，则因 $PA\perp M$，有 $PA\perp N$。于是过点 $P$ 的两条直线 $PA$ 和 $PB$ 都垂直于平面 $N$，它们必重合，从而 $A$ 与 $B$ 重合，这与题设 $A\ne B$ 矛盾。因此平面 $N$ 必与平面 $M$ 相交。 设交线为 $l$。因为 $l\subset M$，且 $PA\perp M$，所以 $PA\perp l$；又因为 $PB\perp N$，且 $l\subset N$，所以 $PB\perp l$。将向量 $\overrightarrow{PB}$ 正投影到平面 $M$ 上，得到向量 $\overrightarrow{AB}$。直线 $l$ 在平面 $M$ 内，且 $PB\perp l$，所以其投影 $AB$ 也垂直于 $l$。因而 $l\perp AB$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间平面的垂直与交线

核心方法：反证法证平面相交

避坑指南：先反证 $N$ 不平行于 $M$，再用正投影说明交线 $\perp AB$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间平面垂直

结论推广：线面垂直性质与反证法

方法推广：正投影论证

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1956-全国-04 解-四棱柱中对角面垂直底面
• 1963-全国-04 解-二面角内垂线平面垂直棱