1979-全国理-07 解-指数增长对数近似

本题导读

本题考查指数增长模型的求解，列指数方程后取对数并用线性近似估算。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 7. 美国的物价从 1939 年的 100 增加到四十年后 1979 年的 500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？

（注意：$x<0.1$，可用：$\ln (1+x)\approx x$，取 $\lg 2=0.3,\ln 10=2.3$）

🔍【思路分析】

破题导航

列 $100(1+x{)}^{40}=500$ 即 $(1+x{)}^{40}=5$；取自然对数得 $40\ln (1+x)=\ln 5$，由 $\ln 2=\lg 2\cdot \ln 10=0.69,\ln 5=1.61$ 得 $\ln (1+x)=0.04025$，近似 $x\approx 4.025\%$。

✅【答案】

Success

约为 $4\%$

✍【详细解析】

Abstract

设每年的物价增长率为 $x$。经过四十年后有 $100(1+x{)}^{40}=500$，所以 $(1+x{)}^{40}=5$。 两边取自然对数，得 $40\ln (1+x)=\ln 5$。 由 $\lg 2=0.3$ 和 $\ln 10=2.3$，有 $\ln 2=\lg 2\cdot \ln 10=0.69$，$\ln 5=\ln 10-\ln 2=1.61$。所以 $\ln (1+x)=\frac{1.61}{40}=0.04025$。 根据题设给出的近似式 $\ln (1+x)\approx x$，得 $x\approx 0.04025=4.025\%$。 因此每年物价增长率约为 $4\%$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数增长对数近似

核心方法：列 $100(1+x{)}^{40}=500$，取对数后用 $\ln (1+x)\approx x$ 近似

避坑指南：注意 $\ln 5=\ln 10-\ln 2$，且 $\ln 2=\lg 2\cdot \ln 10$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数与增长率

结论推广：复利型增长统一用 $(1+x{)}^n$ 模型

方法推广：取对数 + 线性近似

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1958-沪闽-03 解-钢产量赶超增长率
• 1958-湖北-03 解-对数方程的换元求解