1979-全国理-05 解-解三角形余切不等式

本题导读

本题考查解三角形的实际应用，用余切表示观测距离并化为不等式条件。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 5. 外国船只除特许外不得进入离我海岸线 $D$ 里以内的区域. 设 $A$ 及 $B$ 是我们的观测站，$A$ 及 $B$ 间的距离为 $S$ 里，海岸线是过 $A,B$ 的直线，一外国船在 $P$ 点，在 $A$ 站测得 $\angle BAP=\alpha$，同时在 $B$ 站测得 $\angle ABP=\beta$. 问 $\alpha$ 及 $\beta$ 满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？

🔍【思路分析】

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作 $P$ 到 $AB$ 的垂线 $PC=d$，则 $AC=d\cot \alpha ,BC=d\cot \beta$；由 $AC+BC=S$ 得 $d=\frac{S}{\cot \alpha +\cot \beta }$，警告条件 $d\le D$ 即 $\cot \alpha +\cot \beta \ge S/D$。

✅【答案】

Success

$\cot \alpha +\cot \beta \ge \frac{S}{D}$

✍【详细解析】

Abstract

从点 $P$ 向直线 $AB$ 作垂线，垂足为 $C$，设 $PC=d$。由题设构型，$C$ 在线段 $AB$ 上，且 $\alpha ,\beta$ 均为锐角。在直角三角形 $PAC$ 和 $PBC$ 中，分别有 $AC=d\cot \alpha ,BC=d\cot \beta$。因为 $AC+BC=AB=S$，所以 $S=d(\cot \alpha +\cot \beta )$，从而 $d=\frac{S}{\cot \alpha +\cot \beta }$。 外国船进入距海岸线不超过 $D$ 里的区域时应发出警告，即 $d\le D$。因为 $\cot \alpha +\cot \beta >0$，这等价于 $\cot \alpha +\cot \beta \ge \frac{S}{D}$。 所以应满足的三角函数值不等式为 $\cot \alpha +\cot \beta \ge \frac{S}{D}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形余切不等式

核心方法：作 $P$ 到 $AB$ 的垂线 $PC=d$，用余切表示 $AC,BC$ 后求和

避坑指南：发出警告的条件等价于 $d\le D$，化为 $\cot \alpha +\cot \beta \ge S/D$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形应用

结论推广：观测站测角问题可化为余切和不等式

方法推广：面积法与余切关系

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 1962-全国-08 解-解三角形求线段
• 2004-北京卷文-15 解-解三角形与三角求值