1979-全国理-02 解-连分式三角化简

本题导读

本题考查连分式的化简，结合同角三角函数关系，自内向外逐层计算。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 2. 化简：$\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-{\csc }^{2}x}}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $u={\csc }^{2}x$，原式分母逐层化简为 $\frac{1}{u}$，故原式等于 $u={\csc }^{2}x$。

✅【答案】

Success

${\csc }^{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

设 $u={\csc }^{2}x$。在原式有意义的定义域内，$\sin x\ne 0$，且 $u\ne 1$，因而 $u>1$。 $1-\frac{1}{1-u}=\frac{u}{u-1}$。 于是原式的分母为 $1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-u}}=1-\frac{u-1}{u}=\frac{1}{u}$。 所以原式等于 $u={\csc }^{2}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：连分式三角化简

核心方法：自内向外逐层化简，利用 $1-{\csc }^{2}x=-{\cot }^{2}x$

避坑指南：定义域内 $\sin x\ne 0,u={\csc }^{2}x>1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：连分式化简

结论推广：连分式常可自内向外递推，结合三角恒等式

方法推广：换元 $u={\csc }^{2}x$ 降层

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1954-全国-04 解-正切分式方程通解
• 1958-北京-04 解-反三角与差角正切