1977-黑龙江卷-10 解-定积分的几何应用

本题导读

本题考查定积分的几何应用。

📌【题干】

Question

（1977年黑龙江卷(理)） 求曲线 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi ]$ 上的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绕 $x$ 轴旋转，在位置 $x$ 处取宽度为 $\text{d}x$ 的微元，旋转后近似为半径 $y=\sin x$、厚度 $\text{d}x$ 的圆盘，体积微元为 $\text{d}V=\pi y^2\text{d}x=\pi {\sin }^{2}x\text{d}x$。

2. 由 $x\in [0,\pi ]$，得 $V={\int }_0^{\pi }\pi {\sin }^{2}x\text{d}x$。

3. 用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 化简，再用牛顿-莱布尼茨公式计算。

✅【答案】

Success

$\frac{{\pi }^2}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：建立体积积分式 绕 $x$ 轴旋转的旋转体体积公式为： $V={\int }_a^b\pi [f(x){]}^2\text{d}x$

代入 $f(x)=\sin x$，$a=0$，$b=\pi$： $V={\int }_0^{\pi }\pi {\sin }^{2}x\text{d}x=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}x\text{d}x$

• 第二步：降幂化简 由 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$： $V=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}\text{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }(1-\cos 2x)\text{d}x$

• 第三步：计算定积分 由 $\int 1\text{d}x=x,\int \cos 2x\text{d}x=\frac{1}{2}\sin 2x$： $V=\frac{\pi }{2}{\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]}_0^{\pi }$

代入上下限： $V=\frac{\pi }{2}\left[\left(\pi -\frac{1}{2}\sin (2\pi )\right)-\left(0-\frac{1}{2}\sin 0\right)\right]$

因为 $\sin 2\pi =0$，$\sin 0=0$： $V=\frac{\pi }{2}[\pi -0-0]=\frac{\pi }{2}\times \pi =\frac{{\pi }^2}{2}$

所以，该旋转体的体积为： $\frac{{\pi }^2}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：旋转体体积（圆盘法）的定积分建模、${\sin }^{2}x$ 的降幂积分。
2. 核心方法：微元法、二倍角降幂法。
3. 避坑指南：

• 易错点（公式漏掉 $\pi$ 或平方）：容易把体积公式错写成 $V=\int \sin x\text{d}x$（算成了面积），或漏掉 $\pi$。体积微元是圆盘，面积 $\pi R^2$ 乘以厚度 $\text{d}x$ 才是体积。

• 系数错位：求 $\cos 2x$ 的原函数时，前面要乘 $\frac{1}{2}$，得 $\frac{1}{2}\sin 2x$，不要漏掉 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题为定积分应用中旋转体体积的基础题，考查圆盘法。

2. 结论推广: 正弦型曲线 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 在一个周期区间 $\left[0,\frac{\pi }{\omega }\right]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周的体积为 $V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{\omega }}{A}^2{\sin }^2(\omega x+\varphi )\text{d}x=\frac{{\pi }^2{A}^2}{2\omega }$ 本题 $A=1,\omega =1$，代入得 $V=\frac{{\pi }^2\times 1^2}{2\times 1}=\frac{{\pi }^2}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理

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