1977-黑龙江卷-09 解-三角函数的定义与几何建模

本题导读

本题考查三角函数的定义与几何建模。

📌【题干】

Question

（1977年黑龙江卷(理)） 如图，$AP$ 表示发动机的连杆，$OA$ 表示它的曲柄. 当 $A$ 在圆上作圆周运动时，$P$ 在 $x$ 轴上作直线运动，求 $P$ 点的横坐标. 为什么当 $\alpha$ 是直角时，$\angle P$ 是最大？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $P$ 点横坐标（第一问）：

• 由图可知，$P$ 点在 $x$ 轴正半轴上运动，因此 $P$ 点的横坐标即为线段 $OP$ 的长度。
• 观察 $△OAP$，已知 $OA=R$，$AP=l$，$\angle AO{A}^{\prime }=\alpha$（ $\alpha$ 为 $OA$ 与 $x$ 轴正方向的夹角）。
• 可通过过点 $A$ 向 $x$ 轴作垂线 $AH$，将斜三角形拆分为两个直角三角形进行投影累加：$OP=OH+HP$。

2. 分析 $\angle P$ 的最值情况（第二问）：

• 这里的“$\angle P$”即 $△OAP$ 中的 $\angle APO$。

• 在 $△OAP$ 中，已知两边 $OA=R$，$AP=l$ 及 $\angle P$ 的对角 $\alpha$，满足正弦定理的经典形貌。

• 根据正弦定理列出比例式：$\frac{R}{\sin \angle P}=\frac{l}{\sin \alpha }$，解出 $\sin \angle P=\frac{R}{l}\sin \alpha$。

• 由于 $R$ 和 $l$ 为机械固定常数，$\angle P$ 作为锐角，其大小与正弦值 $\sin \angle P$ 的大小成正比。因此当 $\sin \alpha$ 取最大值时，$\angle P$ 达到最大值。

✅【答案】

Success

此时，$\sin \angle P$ 取得最大值 $\frac{R}{l}$，对应的锐角 $\angle P$ 达到最大运动跨度

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：作高构造直角三角形，求解 $P$ 点的横坐标 过点 $A$ 作 $AH\perp x$ 轴于点 $H$。

在直角三角形 $\text{Rt}△OHA$ 中： $OH=OA\cdot \cos \alpha =R\cos \alpha$ $AH=OA\cdot \sin \alpha =R\sin \alpha$

在直角三角形 $\text{Rt}△PHA$ 中，根据勾股定理可求得底边 $HP$ 的长度： $HP=\sqrt{A{P}^2-A{H}^2}=\sqrt{l^2-(R\sin \alpha {)}^2}=\sqrt{l^2-R^2{\sin }^2\alpha }$

因为点 $P$ 位于 $x$ 轴的正半轴上，所以 $P$ 点的横坐标 $x_P$ 等于线段 $OP$ 的几何长度： $x_P=OP=OH+HP=R\cos \alpha +\sqrt{l^2-R^2{\sin }^2\alpha }$

• 第二步：利用正弦定理建立 $\angle P$ 与 $\alpha$ 的函数关系式 在 $△OAP$ 中，由正弦定理可得： $\frac{OA}{\sin \angle P}=\frac{AP}{\sin \alpha }$

代入已知边长 $OA=R,AP=l$： $\frac{R}{\sin \angle P}=\frac{l}{\sin \alpha }$

分离变量，解出 $\angle P$ 的正弦值表达式： $\sin \angle P=\frac{R}{l}\sin \alpha$

• 第三步：极值边界分析与逻辑论证 根据曲柄连杆机构的实际物理意义，连杆长度通常严格大于曲柄半径（$l>R$），因此 $\frac{R}{l}<1$。 在运动过程中，$\angle P$ 恒为锐角。根据正弦函数在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的单调递增性可知，$\angle P$ 随着 $\sin \angle P$ 的增大而增大。

由于 $\sin \angle P=\frac{R}{l}\sin \alpha$，当且仅当自变量因式 $\sin \alpha$ 取得最大值时，$\sin \angle P$ 才能取得最大值。 我们知道，当 $\alpha \in (0^{\circ },180^{\circ })$ 时，正弦曲线的最值特征为： $\text{当 }\alpha =90^{\circ }\text{（即 }\alpha \text{ 是直角）时，}\sin \alpha \text{ 取得最大值 }1$

此时，$\sin \angle P$ 取得最大值 $\frac{R}{l}$，对应的锐角 $\angle P$ 达到最大运动跨度。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面射影定理（投影法）、正弦定理的比例转化、锐角三角函数的单调性应用。
2. 核心方法：作高分割直角三角形法、正弦函数最值边界分析法。
3. 避坑指南：

• 坐标表达式书写不全：第一问要求的是“$P$ 点的横坐标”。虽然由图形直观可见 $x_P=OP$，但有些严谨的题目如果点运动到负半轴则需加负号。本题通过 $R\cos \alpha$ 的正负号已经自动调节了 $OH$ 的方位，因此 $x_P=R\cos \alpha +\sqrt{l^2-R^2{\sin }^2\alpha }$ 的形式对全域象限均有效，无须分类讨论。

• 第二问论证空洞：在解释为什么最大时，不能只写一句“因为此时高最大所以角最大”等纯感性描述。必须建立清晰的数学量化等式（如正弦定理比例式），通过说明 $\sin \alpha =1$ 从而推导 $\sin \angle P$ 最大，完成严密的逻辑闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学选择性必修第三册《三角函数应用》章节中关于经典的**曲柄滑块机构（Crank-slider mechanism）**运动学方程推导题。它是后续高等工科机械原理、内燃机动力学设计、多连杆传动系统运动轨迹解算时最底层的数学原形。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的单自由度旋转-往复约束仿射模型。 在高等机械动力学中，通常将横坐标展开为关于 $\lambda =\frac{R}{l}$ 的泰勒级数（Taylor series）。由于实际工业中 $\lambda$ 通常很小，利用牛顿二项式定理将根式 $\sqrt{1-{\lambda }^2{\sin }^2\alpha }$ 进行一阶渐近展开，可平移推广为更具工程实用价值的曲柄滑块位移近似解析式通项： $x_P\approx R\left(\cos \alpha +\frac{l}{R}-\frac{R}{2l}{\sin }^2\alpha \right)$ 对该式进行时间 $t$ 的一阶求导与二阶求导，即可瞬时输出活塞运动的速度与加速度动力学曲线。熟知这一三角函数向工业构件几何的拓扑演化路径，是敲开现代精密制造与计算几何大门的核心钥匙。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

类题演练 (Links)