1977-黑龙江卷-06 解-一元二次方程的应用

本题导读

本题考查一元二次方程的应用。

📌【题干】

Question

（1977年黑龙江卷(理)） 前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975 年造林 200 亩，又知 1975 年至 1977 年这三年内共造林 728 亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清时序与数量关系：

• 1975 年（基期）造林面积： $200$ 亩。
• 设后两年（即 1976 年和 1977 年）造林面积的年平均增长率为 $x$。
• 则 1976 年造林面积为： $200(1+x)$ 亩；
• 1977 年造林面积为： $200(1+x{)}^2$ 亩。

2. 构建累计总量方程：

• 题干明确给出“这三年内共造林 $728$ 亩”，意味着三年各年造林面积的总和为 $728$。
• 建立方程： $200+200(1+x)+200(1+x{)}^2=728$。

3. 降维变形化简：将 $(1+x)$ 视为一个整体，通过展开、移项化为一元二次方程的标准形式进行求解。

4. 合理性检验：由于增长率在实际造林中通常为正数，需剔除不符合物理意义的负数根。

✅【答案】

Success

答：后两年造林面积的年平均增长率是 $20\%$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：设置未知数并表示各年份数量 设后两年造林面积的年平均增长率为 $x$（其中 $x>0$）。 根据增长率的复利累进性质可得：

• 1975 年造林面积为： $200$ 亩

• 1976 年造林面积为： $200(1+x)$ 亩

• 1977 年造林面积为： $200(1+x{)}^2$ 亩

• 第二步：根据三年总和建立一元二次方程 由这三年内共造林 728 亩，列出方程： $200+200(1+x)+200(1+x{)}^2=728$

方程两边同时除以 8 进行系数化简： $25+25(1+x)+25(1+x{)}^2=91$

将括号全部展开： $25+25+25x+25(1+2x+x^2)=91$ $50+25x+25+50x+25x^2=91$

合并同类项整理得一元二次方程的标准形式： $25x^2+75x-16=0$

• 第三步：运用十字相乘法求解方程 对二次多项式进行因式分解： $(5x-1)(5x+16)=0$

解得两个实数根： $x_1=\frac{1}{5}=0.2,x_2=-\frac{16}{5}=-3.2$

• 第四步：结合实际意义进行验根并转化为百分数 根据实际生产意义，年平均增长率 $x$ 应当严格大于 0：
• $x_1=0.2=20\%$，满足实际物理背景；
• $x_2=-3.2$，不符合造林面积逐年扩大的实际意义，舍去。

答：后两年造林面积的年平均增长率是 $20\%$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：年平均增长率的累加求和建模、一元二次方程的标准因式分解。
2. 核心方法：整体建模法、十字相乘法。
3. 避坑指南：

• 最大建模雷区（错套末期公式）：很多同学一看到增长率，就会盲目套用公式 $A(1+x{)}^2=B$，误将方程写成 $200(1+x{)}^2=728$。务必审清是“已知最后一年的产量”还是“已知这几年的累计总和”。本题中 $728$ 是“三年共造林”，必须将三年的面积进行加和。

• 结果规范性：最终求得的增长率常数 $0.2$，应当按照标准的社会应用惯例化为百分数 $20\%$ 作答。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于初中代数（九年级上册《一元二次方程的应用》）章节中最典型的生活类经济/产量增长模型。它是后续高等数学、国民经济学中研究离散型马尔可夫链累计效应、人口几何指数增长的最底层数学支柱。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的三阶等比累计产出守恒模型。 可以一般化推广为：对于任意初始基期产量为 $A$，连续 $n$ 年（包含基期共 $n+1$ 年）的年平均增长率为 $x$，其总产量累计总和 $S$ 在本质上是一个等比数列求和。当后两年（共3年）时，其代数方程恒守恒满足： $A[1+(1+x)+(1+x{)}^2]=S$ 设 $t=1+x$，原方程可直接坍缩化简为标准的等比级数形态： $A(t^2+t+1)=S$。熟练掌握这一累计产出控制论本质，能让我们在面对高频的中考、高考乃至公务员考试中的资料分析、经济规划大题时，实现破局。

🔗【关联脉络】

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