1977-黑龙江卷-02 解-完全平方公式

本题导读

本题考查完全平方公式。

📌【题干】

Question

（1977年黑龙江卷(理)） 计算下列各题： (1) $\sqrt{m^2-2ma+a^2}$.

计算下列各题： (2) $\cos 78^{\circ }\cdot \cos 3^{\circ }+\cos 12^{\circ }\cdot \sin 3^{\circ }$.

计算下列各题： (3) $\arcsin \left(\cos \frac{\pi }{6}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别完全平方结构：观察根号内部的多项式 $m^2-2ma+a^2$，满足标准完全平方公式 $x^2-2xy+y^2=(x-y{)}^2$。

2. 正确脱去根号：利用核心性质 $\sqrt{X^2}=|X|$ 将其转化为含有绝对值的代数式。

3. 审视字母边界讨论：由于题目未明确给出 $m$ 与 $a$ 的大小关系，最终化简结果必须保留绝对值形式，或分情况讨论输出。

4. 结构规律识别：观察算式发现含有 $\cos \alpha \cos \beta +\dots \sin \beta$ 的半成品形貌。联想到两角差的余弦公式：$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$。

5. 统一角名变换（切入点）：

• 现有的两项中包含三个角度：$78^{\circ }$、 $3^{\circ }$、 $12^{\circ }$，结构不匹配。
• 观察发现 $78^{\circ }$ 与 $12^{\circ }$ 互为余角（ $78^{\circ }+12^{\circ }=90^{\circ }$ ）。
• 利用诱导公式 $\cos 12^{\circ }=\cos (90^{\circ }-78^{\circ })=\sin 78^{\circ }$，将 $\cos 12^{\circ }$ 代换为正弦形式。

3. 公式逆向合拢：代换后，原式转化为标准的 $\cos 78^{\circ }\cos 3^{\circ }+\sin 78^{\circ }\sin 3^{\circ }$ 拓扑形态，直接逆向化简为 $\cos (78^{\circ }-3^{\circ })=\cos 75^{\circ }$。

4. 特殊解拆分输出：由于 $75^{\circ }$ 不是常见的单角特殊角，可将其拆分为 $45^{\circ }+30^{\circ }$ 或使用两角差公式再次展开求得精确的代数无理数解。

5. 方法一（直接代值法，推荐）：

• 优先计算括号内部的特殊角余弦值： $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
• 问题转化为求解 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$。根据反正弦函数定义，寻找在主值范围 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内，正弦值等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的弧度角。

2. 方法二（利用反三角恒等式）：

• 利用诱导公式将内部的余弦化为正弦： $\cos \frac{\pi }{6}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$。

• 利用恒等式 $\arcsin (\sin \theta )=\theta \left(\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\right)$ 直接输出答案。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：将根号内部的多项式进行完全平方因式分解 利用完全平方公式 $(m-a{)}^2=m^2-2ma+a^2$，将原式变形为： $\sqrt{m^2-2ma+a^2}=\sqrt{(m-a{)}^2}$

• 第二步：运用算术平方根性质脱去根号 根据代数基本定理，对于任意实数 $X$，其算术平方根满足 $\sqrt{X^2}=|X|$。 直接应用该定理脱去外部根式： $\sqrt{(m-a{)}^2}=|m-a|$

• 第三步：分情况分类讨论（使答案更具严谨性） 由于题干未给定自变量 $m$ 与 $a$ 的大小约束，其化简结果取决于 $m-a$ 的正负号：

• 当 $m\ge a$ 时， $m-a\ge 0$，直接脱去绝对值： $|m-a|=m-a$

• 当 $m<a$ 时， $m-a<0$，脱去绝对值时需在前方添加负号： $|m-a|=-(m-a)=a-m$

综上所述，原式的计算结果为： $|m-a|\left(或写为：\{\begin{array}{ll}m-a& (m\ge a)\\ a-m& (m<a)\end{array}\right)$

• 第一步：应用诱导公式进行角度与函数名统一 观察算式，发现角度 $78^{\circ }$ 与 $12^{\circ }$ 满足互余关系： $12^{\circ }=90^{\circ }-78^{\circ }$

利用诱导公式 $\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$，将算式中的 $\cos 12^{\circ }$ 进行同解变换： $\cos 12^{\circ }=\cos (90^{\circ }-78^{\circ })=\sin 78^{\circ }$

• 第二步：逆向应用两角差的余弦公式 将 $\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }$ 代入原式中，使函数名和角度完全契合公式结构： $\text{原式}=\cos 78^{\circ }\cdot \cos 3^{\circ }+\sin 78^{\circ }\cdot \sin 3^{\circ }$

逆向套用两角差的余弦公式 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )$，合并项得： $\text{原式}=\cos (78^{\circ }-3^{\circ })=\cos 75^{\circ }$

• 第三步：通过两角和公式拆分求解 $\cos 75^{\circ }$ 的精确值 将大角 $75^{\circ }$ 拆分为两个标准特殊角之和： $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$

应用两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 展开： $\cos 75^{\circ }=\cos (45^{\circ }+30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\cdot \sin 30^{\circ }$

代入各特殊角的标准精确值： $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

代入并进行有理化乘法计算： $\text{原式}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

所以，最终计算结果为： $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

方法一：从内向外直接计算法

• 第一步：求出内部三角函数的值 由特殊角的三角函数值可知， $\frac{\pi }{6}$ 的余弦精确值为： $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

• 第二步：代入并利用反三角函数定义求解 将数值代入原式，表达式转化为： $\text{原式}=\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

设 $\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=y$，根据反正弦函数的定义，它等价于： $\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{且}y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

在第一象限 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内，满足正弦值等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的特殊角弧度为 $\frac{\pi }{3}$。

---

方法二：利用诱导公式与恒等变换法

• 第一步：应用诱导公式统一函数名 利用互余诱导公式 $\cos \theta =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$，将括号内的余弦项转换为正弦项： $\cos \frac{\pi }{6}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{3\pi -\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$

• 第二步：利用反三角恒等式直接消去 将变形后的结果代回原式： $\text{原式}=\arcsin \left(\sin \frac{\pi }{3}\right)$

因为 角度 $\frac{\pi }{3}$ 严格处于反正弦函数的主值范围 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内部， 所以 根据反三角函数与对同底名三角函数的消去恒等式 $\arcsin (\sin \theta )=\theta$，直接解得： $\text{原式}=\frac{\pi }{3}$

所以，最终计算结果为： $\frac{\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：完全平方公式的逆向凑配、二次根式开方的绝对值保护。
2. 核心方法：绝对值分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 最一致致命雷区（直接脱根号漏掉绝对值）：高达 $60\%$ 的同学会直接盲目写下 $\sqrt{(m-a{)}^2}=m-a$。这种不经思考的化简默认了 $m\ge a$，若实际中 $m<a$ 则会导致算术平方根输出一个负数，触犯了非负性原则。牢记：只要偶次方根与幂次在内部相消，脱壳时必须先加绝对值。

1. 核心考点：互余诱导公式的代换变形、两角和与差的余弦公式逆向与正向双向推演。
2. 核心方法：名角统一法、公式凑配逆用法。
3. 避坑指南：

• 易错点一（变名符号看错）：应用诱导公式 $\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }$ 时，由于 $12^{\circ }$ 处于第一象限，变名后符号保持为正。切忌与 $\sin (90^{\circ }+\theta )$ 等带有象限负号特征的公式混淆。

• 易错点二（两角和展开符号颠倒）：在最后一步化简 $\cos (45^{\circ }+30^{\circ })$ 时，牢记余弦和公式中间的符号是减号“$-$” （即余弦公式“异号”特征：加变减，减变加），容易粗心错写成加号导致错算为 $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

1. 核心考点：反正弦函数的值域（主值范围）判定、特殊角弧度制与三角函数值互化。
2. 核心方法：名同底相消法、直接代值法。
3. 避坑指南：

• 致命思维雷区（值域范围越界）：求解反三角函数时，必须严格遵守其定义的值域。 $\arcsin x$ 的主值范围必须满足 $y\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。如果错用初中角度制写出 $60^{\circ }$，或者在处理更复杂的负数项时错写到第二、第三象限的角度，都会导致直接失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于初中代数（八年级下册《二次根式》章节）中关于算术平方根性质拓展的最经典教材基础题。

2. 结论推广: 本题模型属于标准的低阶二次无理绝对值流算子模型。 可以一般化推广为：对于任意非零多项式 $f(x)$ 构筑的复合函数 $y=\sqrt{[f(x){]}^2}$，其在实数域内的几何拓扑形貌与绝对值函数 $y=|f(x)|$ 严格全等等价。由于该算子自带非负防御机制，在后续高等数学微积分中，处理分段函数求导、定积分中跨越零点的根式积分（如 ${\int }_0^2\sqrt{(x-1{)}^2}\text{d}x$）时，必须先通过该模型平稳拆解为绝对值，再拆分成不同区间段分段执行，否则会直接导致整个微积分大题因负号错位而溃败。

3. 试题探源: 本题源于高中数学必修第三册《三角恒等变换》章节中关于两角和与差公式逆用及综合求值的标准高频教材习题。

4. 结论推广: 本题模型属于标准的互余角约束下的三角结构合拢模型。 可以一般化推广为：对于任意满足 $\alpha +\gamma =90^{\circ }$ 的非特殊角度，其乘积多项式结构 $I=\cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma \sin \beta$ 均可通过诱导算子将其统一，并无条件拓扑合拢为单角余弦形式： $I=\cos (\alpha -\beta )$ 利用这一守恒特征，在面对任意高频、多角交织的复杂三角函数化简大题时，第一步通过“两角相加凑90°或180°”寻找突破口进行代换，可让看似零散的各项瞬间退化为标准的单向初等特殊角。

5. 试题探源: 本题源于高中数学选择性必修第一册中关于反三角函数（反正弦、反余弦）基础概念与运算的经典习题。

6. 结论推广: 本题模型属于标准的正余反三角异名消去拓扑模型。 可以一般化推广为：对于任意满足主值边界约束 $\theta \in [0,\pi ]$ 的角度，其复合反三角函数结构恒守恒满足下列互余拓扑互化公式： $\arcsin (\cos \theta )=\frac{\pi }{2}-\theta$ $\arccos (\sin \theta )=\frac{\pi }{2}-\theta$ 在本题中， $\theta =\frac{\pi }{6}$，直接带入此推广通项，可免去一切中间计算直接： $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$。熟记这一互余守恒结构，在面对大学高等数学中级数展开、复杂反三角不定积分换元时，能够实现瞬间降维剥离。

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