1977-黑龙江卷-01 解-无理方程的解法

本题导读

本题考查无理方程的解法。

📌【题干】

Question

（1977年黑龙江卷(理)） 解答下列各题： (1) 解方程：$\sqrt{3x+4}=4$.

(2) 解不等式：$|x|<5$.

(3) 已知正三角形的外接圆半径为 $6\sqrt{3}\text{ cm}$，求它的边长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 无理方程中被开方数必须非负，即 $3x+4\ge 0$；又等式右边为 $4>0$，方程有实数解。

2. 两边同时平方，把无理方程化为普通的一元一次方程。

3. 解出一元一次方程的解，代入原方程验根，排除增根。

4. $|x|$ 在数轴上表示实数 $x$ 对应的点到原点的距离。

5. 不等式 $|x|<5$ 表示数轴上的点到原点的距离小于 $5$。

6. 原点两侧距离等于 $5$ 的点为 $-5$ 和 $5$，故解集为 $-5<x<5$。

7. 设正三角形为 $△ABC$，外接圆圆心为 $O$，连接 $OA$，则 $OA$ 为外接圆半径 $R=6\sqrt{3}\text{ cm}$。

8. 过点 $O$ 作 $OD\perp BC$ 于点 $D$。正三角形四心合一，$O$ 也是内心和重心。

• $OD$ 垂直平分 $BC$，则 $BD=\frac{1}{2}a$（$a$ 为边长）。
• $OB$ 平分 $\angle ABC=60^{\circ }$，得 $\angle OBD=30^{\circ }$。

3. 在直角三角形 $△OBD$ 中，斜边 $OB=R=6\sqrt{3}$，由 $\cos 30^{\circ }=\frac{BD}{OB}$ 解出 $BD$，再乘 2 得边长 $a$。

✅【答案】

Success

$18\text{ cm}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：两边平方去根号 原方程为： $\sqrt{3x+4}=4$

将方程两边同时平方以消去根式： ${\left(\sqrt{3x+4}\right)}^2=4^2$ $3x+4=16$

• 第二步：求解一元一次方程 将常数项 $4$ 移到等式右侧： $3x=16-4$ $3x=12$

两边同时除以 3，解得： $x=4$

• 第三步：回代检验 将 $x=4$ 代入原方程左边： $\text{左边}=\sqrt{3\times 4+4}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$ $\text{右边}=4$ 左边 = 右边，所以 $x=4$ 是原方程的根。

所以，原方程的解为： $x=4$

对于正常数 $a(a>0)$，不等式 $|x|<a$ 的解集为 $-a<x<a$。

原不等式为 $|x|<5$，且 $5>0$，所以去掉绝对值号后同解变形为： $-5<x<5$

写成集合形式： \{x \;\middle|\; -5 < x < 5\}

• 第一步：作图 设正三角形为 $△ABC$，边长为 $a$，其外接圆圆心为 $O$，连接 $OB$，过点 $O$ 作 $OD\perp BC$ 于点 $D$。

正三角形四心合一，外心 $O$ 也是各内角的平分线交点。 由于 $\angle ABC=60^{\circ }$，所以： $\angle OBD=\frac{1}{2}\angle ABC=30^{\circ }$ 且 $OB$ 为外接圆半径： $OB=R=6\sqrt{3}\text{ cm}$

• 第二步：在直角三角形中求边长的一半 在 $\text{Rt}△OBD$ 中， $\angle ODB=90^{\circ }$， $\angle OBD=30^{\circ }$。 由锐角三角函数定义： $\cos \angle OBD=\frac{BD}{OB}⟹\cos 30^{\circ }=\frac{BD}{6\sqrt{3}}$

代入 $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BD}{6\sqrt{3}}$ $BD=6\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\times 3=9\text{ cm}$

• 第三步：由垂直平分性质求边长 因为 $OD\perp BC$，由垂径定理（或等腰三角形三线合一）， $D$ 是 $BC$ 的中点。 所以正三角形的边长 $a$ 为： $a=BC=2BD=2\times 9=18\text{ cm}$

所以，正三角形的边长为： $18\text{ cm}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无理方程的平方法化简、一元一次方程的解法。
2. 核心方法：两边平方法。
3. 避坑指南：

• 易错点（漏掉验根）：解无理方程时，两边平方不是同解变形，可能产生增根。本题等式右边为常数 $4$，未产生增根，但作答时仍应写“经检验”，否则可能被扣分。

1. 核心考点：一元一次绝对值不等式的同解变形。
2. 核心方法：去绝对值法。
3. 避坑指南：

• 易错点（等号或方向混淆）：原题是严格小于号“$<$”，解集两端 $-5$ 和 $5$ 都不能取等号，须用开区间或严格不等号表示。可记“小于取中间，大于取两边”。

1. 核心考点：正三角形边角关系、解直角三角形。
2. 核心方法：作垂线构造直角三角形。
3. 避坑指南：

• 易错点一（看错半径类型）：审题要看清是外接圆半径（圆心到顶点的距离 $R$）还是内切圆半径（圆心到边的距离 $r$），两者满足 $R=2r$，混淆会把结果算成原来的 2 倍或 $\frac{1}{2}$。

• 易错点二（漏写单位）：已知条件带单位 $\text{cm}$，答案也应写单位 $\text{cm}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题为初中代数“无理方程”的基础练习题，考查两边平方去根号与验根。

2. 结论推广: 形如 $\sqrt{ax+b}=c(a\ne 0,c\ge 0)$ 的无理方程，两边平方得 $ax+b=c^2$，解得 $x=\frac{c^2-b}{a}$ 本题 $a=3,b=4,c=4$，代入得 $x=\frac{4^2-4}{3}=4$。注意：若右边 $c<0$，则方程无解。

3. 试题探源: 本题为初中“绝对值”基础题，考查 $|x|<a$ 型不等式的解法。

4. 结论推广: 形如 $|x-x_0|<r(r>0)$ 的不等式，在数轴上表示以 $x_0$ 为中心、以 $r$ 为半径的区间，解集为 $x_0-r<x<x_0+r$ 本题 $x_0=0,r=5$，代入得 $-5<x<5$。

5. 试题探源: 本题为初中几何“正多边形和圆”的基础题，考查正三角形边长与外接圆半径的关系。

6. 结论推广: 边长为 $a$、外接圆半径为 $R$ 的正 $n$ 边形，由中心向顶点和边作辅助线构造直角三角形，可得 $a=2R\sin \frac{180^{\circ }}{n}$ 当 $n=3$ 时，$a=2R\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}R$。本题 $R=6\sqrt{3}\text{ cm}$，代入得 $a=\sqrt{3}\times 6\sqrt{3}=18\text{ cm}$。

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