1977-陕西-02 解-诱导公式连乘

本题导读

本题考查诱导公式连乘求值。核心在于把 480°、960°、1920° 化为 120°、240° 的三角函数。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 求值：$\sin 480^{\circ }\cdot \cos 480^{\circ }\cdot \cos 960^{\circ }\cdot \cos 1920^{\circ }$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin 480^{\circ }=\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其余三个余弦均为 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{\sqrt{3}}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=\sin 120^{\circ }\cdot \cos 120^{\circ }\cdot \cos 240^{\circ }\cdot \cos 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式连乘

核心方法：用诱导公式把大于 90° 的角化为锐角，再连乘

避坑指南：$\sin 480^{\circ }=\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 480^{\circ }=\cos 960^{\circ }=\cos 1920^{\circ }=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，连乘为 $-\frac{\sqrt{3}}{16}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于诱导公式，考查大角化小角的连乘求值。

结论推广：诱导公式把任意角三角函数化为锐角三角函数可推广。

方法推广：先各自化成 120°、240° 的余弦，注意每个因子的符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1977-广西理-03 解-诱导公式求值
• 1977-西藏-04 解-特殊角和角求值