1977-辽宁-11 解-正弦定理追捕问题

本题导读

本题考查正弦定理在追捕问题中的应用。核心在于由方位角定角再用正弦定理求边角。

📌【题干】

Question

（1977年辽宁卷） 如图，我海军某舰艇在 $A$ 处测得入侵敌舰在方位角为 $45^{\circ }$、距离为 $10$ 海里的 $C$ 处，并正沿方位角为 $105^{\circ }$ 的方向以 $9$ 海里/小时的速度逃跑，我舰艇立即以 $21$ 海里/小时的速度沿直线前去追捕.问我舰艇应沿多大的方位角和需用多少小时才能在某处 $B$ 追上敌舰？（$\sin 21^{\circ }47^{\prime }=\frac{3\sqrt{3}}{14}$，$\sin 38^{\circ }13^{\prime }=\frac{5\sqrt{3}}{14}$）

🔍【思路分析】

破题导航

设追捕 $x$ 小时，$\angle C=120^{\circ }$，由正弦定理求角与边。

✅【答案】

Success

方位角 $66^{\circ }47^{\prime }$，$\frac{2}{3}$ 小时

✍【详细解析】

Abstract

设追捕需 $x$ 小时，则 $AB=21x$、$BC=9x$，$AC=10$，$\angle C=45^{\circ }+(180^{\circ }-105^{\circ })=120^{\circ }$。由正弦定理 $\frac{21x}{\sin 120^{\circ }}=\frac{9x}{\sin A}$，得 $\sin A=\frac{9x}{21x}\sin 120^{\circ }=\frac{3}{7}\sin 60^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{14}$，故 $A=21^{\circ }47^{\prime }$，方位角 $=45^{\circ }+21^{\circ }47^{\prime }=66^{\circ }47^{\prime }$。$B=180^{\circ }-120^{\circ }-21^{\circ }47^{\prime }=38^{\circ }13^{\prime }$，由 $\frac{9x}{\sin 21^{\circ }47^{\prime }}=\frac{10}{\sin 38^{\circ }13^{\prime }}$ 得 $x=\frac{2}{3}$ 小时。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理追捕问题

核心方法：正弦定理

避坑指南：方位角相加定 $\angle C=120^{\circ }$，正弦定理求边角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：追捕

结论推广：$66^{\circ }47^{\prime }$，$\frac{2}{3}$ 小时

方法推广：正弦定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-18 解-余弦定理解三角形方位角
• 2009-辽宁文-18 解-仰角测量解三角形