1977-贵州-04 解-倒数和求幂和

本题导读

本题考查条件求值。核心在于倒数和的平方、立方展开结构，或先解出 $m=1$。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 已知 $m+\frac{1}{m}=2$，求(1)$m^2+\frac{1}{m^2}=?$；(2)$m^3+\frac{1}{m^3}=?$.

🔍【思路分析】

破题导航

法一：$(m+\frac{1}{m}{)}^2-2$ 与 $(m+\frac{1}{m}{)}^3-3(m+\frac{1}{m})$；法二：$(m-1{)}^2=0$ 得 $m=1$。

✅【答案】

Success

(1)$2$(2)$2$

✍【详细解析】

Abstract

法一：(1)$m^2+\frac{1}{m^2}={\left(m+\frac{1}{m}\right)}^2-2m\cdot \frac{1}{m}=2^2-2=2$。(2)$m^3+\frac{1}{m^3}={\left(m+\frac{1}{m}\right)}^3-3m\cdot \frac{1}{m}\left(m+\frac{1}{m}\right)=2^3-3\cdot 2=2$。法二：由 $m+\frac{1}{m}=2$ 可得 $m^2-2m+1=0$，即 $(m-1{)}^2=0$，因此 $m=1$。故(1)$m^2+\frac{1}{m^2}=1+1=2$；(2)$m^3+\frac{1}{m^3}=1+1=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：倒数和求幂和

核心方法：平方与立方展开

避坑指南：$(m+\frac{1}{m}{)}^2-2$ 与 $(m+\frac{1}{m}{)}^3-3(m+\frac{1}{m})$；或先解 $m=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件求值

结论推广：(1)$2$(2)$2$

方法推广：倒数和为2时 $m=1$ 是捷径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01_预备知识主题

类题演练 (Links)

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