1977-福建卷-06 解-空间点、线、面的位置关系

本题导读

本题考查线面平行与线面垂直的性质，证明空间两条直线的垂直关系。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(理)） 已知：直线 $a\parallel$ 平面 $\alpha$，直线 $b\perp$ 平面 $\alpha$. 求证： $a\perp b$.

🔍【思路分析】

破题导航

要证空间中两条直线 $a$ 与 $b$ 垂直，可借助线面垂直的定义或线面平行的性质建立联系。

1. 构造辅助平面：

• 由 $a\parallel \alpha$，过直线 $a$ 作辅助平面 $\beta$，与平面 $\alpha$ 交于 $a^{\prime }$。由线面平行的性质定理得 $a\parallel a^{\prime }$。
• 问题转化为：已知 $b\perp \alpha$ 且 $a\parallel a^{\prime }$（$a^{\prime }\subset \alpha$），证 $a\perp b$。

2. 打通垂直关系：

• 由 $b\perp \alpha$ 且 $a^{\prime }\subset \alpha$，得 $b\perp a^{\prime }$。

• 由 $a\parallel a^{\prime }$ 且 $b\perp a^{\prime }$，得 $a\perp b$。

✅【答案】

Success

原命题得证

✍【详细解析】

Abstract

证明：

第一步：用线面平行的性质构造交线 因为 $a\parallel \alpha$， 过直线 $a$ 作辅助平面 $\beta$，设 $\beta$ 与 $\alpha$ 的交线为 $a^{\prime }$： $\beta \cap \alpha =a^{\prime }$ 由线面平行的性质定理（一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行）： $a\parallel a^{\prime }$

第二步：用线面垂直的定义证线线垂直 因为 $b\perp \alpha$，且 $a^{\prime }\subset \alpha$， 由线面垂直的定义（一条直线垂直于一个平面，则它垂直于该平面内的任意一条直线）： $b\perp a^{\prime }$

第三步：由平行线传递垂直 已知： $\{\begin{array}{l}a\parallel a^{\prime }\\ b\perp a^{\prime }\end{array}$ 两条平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故： $a\perp b$

所以，原命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质定理、线面垂直的定义、平行线的垂直传递。
2. 核心方法：作辅助平面法、交线过渡法。
3. 避坑指南：

• 不能直接说 $b\perp a$：$b\perp \alpha$ 只说明 $b$ 垂直于 $\alpha$ 内的直线，而 $a$ 在 $\alpha$ 外。须先作交线 $a^{\prime }$，把 $a$ 平移到 $\alpha$ 内，才能用线面垂直的条件。

• 符号书写：线与线平行用 $\parallel$、垂直用 $\perp$，线与面用 $\subset$，面与面用 $\cap$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 6 题，考查线面平行与线面垂直的性质。

2. 结论推广：在空间中，若 $a\parallel \alpha$ 且 $b\perp \alpha$，则 $a\perp b$。这类问题一般先由线面平行作交线，把外部直线平移到平面内，再利用线面垂直的定义转化为线线垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 线面垂直的判定与性质

类题演练 (Links)