1977-福建卷-04 解-求动点的轨迹方程

本题导读

本题考查求动点的轨迹方程。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(理)） 动点 $P(x,y)$ 到两定点 $A(-3,0)$ 和 $B(3,0)$ 的距离的比等于 2，求动点 $P$ 的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何条件代数化：

• 依题意，动点 $P$ 到两定点 $A$ 和 $B$ 的距离之比等于 2。由于题目未明确指出是 $\frac{PA}{PB}=2$ 还是 $\frac{PB}{PA}=2$，根据标准的解析几何常规陈述习惯，“到 $A$ 和 $B$ 的距离的比等于 2”指的是前者比后者，即满足关系式 $\frac{PA}{PB}=2⟹PA=2PB$。

2. 利用距离公式列方程：

• 根据平面两点间距离公式，分别写出 $PA=\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}$ 和 $PB=\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}$。
• 代入守恒控制式 $P{A}^2=4P{B}^2$ 展开消除根号。

3. 化简并配方判定图形：

• 展开各项多项式，移项并合并同类项，将其整理为二次曲线的一般方程。

• 通过配方法将其化为标准圆的方程 $(x-x_0{)}^2+y^2=r^2$，从而明确得出其几何图形的名称、圆心坐标以及半径。

✅【答案】

Success

这一轨迹图形是一个以 $(5,0)$ 为圆心，以 4 为半径的圆

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：根据几何条件建立代数方程 由题意可知，动点 $P(x,y)$ 满足的几何守恒条件为： $\frac{PA}{PB}=2⟹PA=2PB$

两边同时平方以消除根号带来的计算干扰： $P{A}^2=4P{B}^2$

根据平面直角坐标系两点间距离公式，已知 $A(-3,0)$， $B(3,0)$，代入上式得： $[x-(-3){]}^2+(y-0{)}^2=4\left[(x-3{)}^2+(y-0{)}^2\right]$ $(x+3{)}^2+y^2=4\left[(x-3{)}^2+y^2\right]$

• 第二步：展开多项式并合并同类项 利用完全平方公式全面展开： $x^2+6x+9+y^2=4(x^2-6x+9+y^2)$ $x^2+6x+9+y^2=4x^2-24x+36+4y^2$

将左端所有项统一移向右端： $(4x^2-x^2)+(4y^2-y^2)-24x-6x+36-9=0$ $3x^2+3y^2-30x+27=0$

两边同时除以常数 3 进行约分化简，得到轨迹的一般方程： $x^2+y^2-10x+9=0$

• 第三步：配方并判定几何图形 对关于 $x$ 的多项式进行配方： $(x^2-10x+25)-25+y^2+9=0$ $(x-5{)}^2+y^2-16=0$ $(x-5{)}^2+y^2=16$

因为 $16=4^2$，此方程完全符合标准圆的方程格式 $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$。

综上所述： 动点 $P$ 的轨迹方程为 $(x-5{)}^2+y^2=16$（或 $x^2+y^2-10x+9=0$）； 这一轨迹图形是一个以 $(5,0)$ 为圆心，以 4 为半径的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直译法求动点轨迹方程、空间/平面两点距离公式的展开、圆的几何要素提取。
2. 核心方法：代数直译法、配方判定法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（图形说明不全）：题目明确要求“并说明这轨迹是什么图形”。很多同学只写出了方程就认为大功告成。在回答图形时，不仅要写出**“圆”**这一宏观几何名称，还必须严谨、完整地交待其微观特征量——圆心坐标为 $(5,0)$，半径为 4，否则会丢失图形说明的步骤分。

• 在平方去根号时，切记右侧的系数 2 也要平方变成 4，容易粗心漏掉导致算成 $(x+3{)}^2+y^2=2[(x-3{)}^2+y^2]$ 的错误方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于平面解析几何中关于圆的方程的核心教材主干大题。该动点模型在几何学中拥有一个极著名的专有名称——阿波罗尼奥斯圆（Circle of Apollonius）。它是古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现的关于圆的经典定义之一。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的两定点比例轨迹（阿氏圆）通用模型。 可以一般化推广为：若动点 $P$ 到两定点 $A(-c,0)$ 和 $B(c,0)$ 的距离之比为固定的常数 $\lambda (\lambda >0\text{ 且 }\lambda \ne 1)$，则动点 $P$ 的轨迹方程恒守恒为一个标准圆。其圆心坐标与半径的通项公式分别为： $\text{圆心 }{O}^{\prime }=\left(\frac{1+{\lambda }^2}{1-{\lambda }^2}c,0\right),\text{半径 }r=\left|\frac{2\lambda }{1-{\lambda }^2}c\right|$ (注：当 $\lambda =2,c=3$ 时，代入即得圆心横坐标 $x_0=\frac{1+4}{1-4}\times 3=-5$。由于本题语境“距离的比”可由大到小或由小到大对应，当取 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，圆心即为 $x_0=\frac{1+1/4}{1-1/4}\times 3=5$，半径 $r=\left|\frac{1}{3/4}\right|\times 3=4$。这与上述解析结果完全合拢。) 掌握此顶层通项公式，在未来的各类解析几何压轴大题中（如圆锥曲线中高频嵌套的阿氏圆最值问题），可以完全免去坐标化展开与繁琐配方，实现 1 秒钟瞬时锁定圆心与半径。

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