1977-福建卷-02 解-分式不等式的解法

本题导读

本题考查分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(理)） (1) 解不等式: $\frac{x^2-x-6}{x^2+2x+2}<0$.

(2) 证明: $\frac{2\cos \theta -\sin 2\theta }{2\cos \theta +\sin 2\theta }={\tan }^2\left(\frac{90^{\circ }-\theta }{2}\right)$.

(3) 某中学革命师生自己动手油漆一个直径为 1.2 米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆 150 克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）

(4) 某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机 1000 台. 这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务. 工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产 2310 台，求十一月、十二月份平均每月增长率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析分母的代数特征：

• 观察分母 $x^2+2x+2$。可以通过配方将其化为 $(x+1{)}^2+1$，由此可直观看出其值域严格大于零。
• 亦可计算其判别式 $\Delta =2^2-4\times 1\times 2=-4<0$，由于二次项系数 $a=1>0$，说明分母对任意实数 $x$ 均恒大于零。

2. 同解等价转化：

• 因为分母恒为正数，根据分式的符号法则，要使整个分式小于零，分子 $x^2-x-6$ 必须严格小于零。即原不等式等价于 $x^2-x-6<0$。

3. 因式分解求解区间：

• 利用十字相乘法将分子分解为 $(x-3)(x+2)<0$。

• 根据“大于取两边，小于取中间”的口诀直接锁定解集区间。

1. 化简左端（倍角化单角）：

• 观察左端分式，分子与分母中同时包含单角 $\theta$ 与二倍角 $2\theta$。
• 优先应用正弦二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 实现角度统一。
• 统一后，分子分母提取公因式 $2\cos \theta$ 并约去，将左端精简为 $\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }$。

2. 转化右端（角度与结构对齐）：

• 方案一（从左向右推进）：利用诱导公式将左端化简出来的 $\sin \theta$ 转化为余弦形式 $\cos (90^{\circ }-\theta )$。利用二倍角公式的余弦变体（或半角公式变形） $1-\cos \alpha =2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$ 和 $1+\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$，将结构强行收拢为正切的平方。

• 方案二（两端双向夹逼）：直接利用半角切型公式 ${\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }$，将右端的 $\alpha =90^{\circ }-\theta$ 逆向展开，利用诱导公式脱去 $\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$ 对齐左端。

1. 构建几何模型：将“地球仪”抽象为数学上的标准“球体”。
2. 提取核心已知量：

• 球体的直径 $d=1.2$ 米（或半径 $R=0.6$ 米）。
• 单位面积单位用量：每平方米耗漆 150 克。

3. 计算球体表面积：

• 采用直径版球体表面积公式： $S=\pi d^2$。
• 采用半径版球体表面积公式： $S=4\pi R^2$。
• 圆周率 $\pi$ 在初等近似工程计算中通常取值 $3.14$（或 $3.1416$）。

4. 求总用量并四舍五入取整：总油漆量 $W=S\times 150$，算出的最终浮点数结果按照四舍五入规范保留到整数位。

5. 设定未知数与核心基底：

• 设十一月、十二月份平均每月增长率为 $x$（其中 $x>0$）。
• 基期数据：十月份的产量为 1000 台。

2. 构建各月产量代数式：

• 十一月份的产量：在十月份的基础上增长 $x$，即 $1000(1+x)$。
• 十二月份的产量：在十一月份的基础上再增长 $x$，即 $1000(1+x{)}^2$。

3. 建立方程：

• 题目给定条件“在年底前再生产 2310 台”。“年底前”指的是扣除前十个月后，剩余的十一月与十二月这两个月的产量代数和。
• 依此建立守恒方程：十一月产量 + 十二月产量 = 2310，即 $1000(1+x)+1000(1+x{)}^2=2310$。

4. 求解并舍去不合题意的根：化简为标准一元二次方程，求出 $x$ 并转化为百分数表达。

✅【答案】

Success

答：十一月、十二月份平均每月增长率为 10%

✍【详细解析】

Abstract

原不等式为： $\frac{x^2-x-6}{x^2+2x+2}<0$

• 第一步：判定分母的非负恒正性 对于分母多项式 $x^2+2x+2$，进行配方变形： $x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1{)}^2+1$ 因为 对任意实数 $x$，恒有 $(x+1{)}^2\ge 0$， 所以 $(x+1{)}^2+1\ge 1>0$，即分母对全体实数恒为正数： $x^2+2x+2>0(\text{且分母不为 }0\text{ 恒成立})$

• 第二步：将分式不等式转化为一元二次不等式 因为 分式分母恒大于零，原不等式两边同乘以正数 $(x^2+2x+2)$，不等号方向保持不变，故原不等式同解等价于分子满足： $x^2-x-6<0$

• 第三步：因式分解求出最终解集 利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解： $(x-3)(x+2)<0$

对应的方程零点分别为 $x=-2$ 和 $x=3$。 根据二次不等式“小于零取两根中间”的区间法则，解得： $-2<x<3$

所以，原不等式的解集为： $\{x\mid -2<x<3\}$

从左端证明到右端（顺向推导法）

对原等式的左端进行代数恒等变形： $\text{左端}=\frac{2\cos \theta -\sin 2\theta }{2\cos \theta +\sin 2\theta }$

应用正弦二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 代入分子与分母中： $\text{左端}=\frac{2\cos \theta -2\sin \theta \cos \theta }{2\cos \theta +2\sin \theta \cos \theta }$

分子与分母分别整体提取公因式 $2\cos \theta$： $\text{左端}=\frac{2\cos \theta \cdot (1-\sin \theta )}{2\cos \theta \cdot (1+\sin \theta )}$

当 $\cos \theta \ne 0$ 时，分子、分母同时约去公因式 $2\cos \theta$： $\text{左端}=\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }$

根据三角函数的诱导公式满足 $\sin \theta =\cos (90^{\circ }-\theta )$，将其代入上式进行等量代换： $\text{左端}=\frac{1-\cos (90^{\circ }-\theta )}{1+\cos (90^{\circ }-\theta )}$

根据二倍角的余弦公式变形（或标准半角公式规律），对任意角 $\alpha$ 恒满足： $1-\cos \alpha =2{\sin }^2\frac{\alpha }{2},1+\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$

令 $\alpha =90^{\circ }-\theta$，将上述两恒等变形公式套用到分式的分子与分母中： $\text{左端}=\frac{2{\sin }^2\left(\frac{90^{\circ }-\theta }{2}\right)}{2{\cos }^2\left(\frac{90^{\circ }-\theta }{2}\right)}$

约去系数 2，并利用同角商数关系 $\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }=\tan \varphi$ 合并二次项： $\text{左端}={\left[\frac{\sin \left(\frac{90^{\circ }-\theta }{2}\right)}{\cos \left(\frac{90^{\circ }-\theta }{2}\right)}\right]}^2={\tan }^2\left(\frac{90^{\circ }-\theta }{2}\right)=\text{右端}$

因为 左端经严格代数变形可与右端完全对齐， 所以 原三角恒等式成立。

根据题意，将地球仪视为标准球体。

• 第一步：计算地球仪的表面积 $S$ 已知地球仪的直径 $d=1.2$ 米，则其半径为： $R=\frac{d}{2}=\frac{1.2}{2}=0.6\text{ (米)}$

根据球体的表面积公式 $S=4\pi R^2$，代入数据： $S=4\times \pi \times 0.6^2$ $S=4\times \pi \times 0.36=1.44\pi \text{ (平方米)}$

(注：若直接使用直径公式 $S=\pi d^2=\pi \times 1.2^2=1.44\pi$，结果完全相同)

• 第二步：计算所需油漆的总克数 $W$ 因为 每平方米面积需要油漆 150 克， 所以 总油漆用量为： $W=S\times 150=1.44\pi \times 150$ $W=216\pi \text{ (克)}$

• 第三步：代入 $\pi$ 值进行近似取整计算 取圆周率 $\pi \approx 3.14$，代入上式： $W\approx 216\times 3.14=678.24\text{ (克)}$

(若取更精确的 $\pi \approx 3.1416$，则 $W\approx 216\times 3.1416=678.5856$ 克)

根据题目要求“答案保留整数”，对十分位进行四则五入截断： $W\approx 678\text{ (克)}$

答：共需油漆约 678 克。

设十一月、十二月份平均每月增长率为 $x$。

根据题意，已知十月份生产拖拉机 1000 台，则：

• 十一月份的产量为： $1000(1+x)\text{ （台）}$
• 十二月份的产量为： $1000(1+x{)}^2\text{ （台）}$

因为 年底前（即十一月和十二月）计划再生产 2310 台， 所以 列出方程如下： $1000(1+x)+1000(1+x{)}^2=2310$

为了简化计算，两边同时除以常数 10 以消去尾数 0： $100(1+x)+100(1+x{)}^2=231$

为了便于因式分解，我们可以采用整体换元法，设 $1+x=t$ （由于 $x>0$，故 $t>1$）： $100t+100t^2=231$

调整顺序写成标准一元二次方程的形式： $100t^2+100t-231=0$

利用十字相乘法进行因式分解，将 $100$ 拆为 $10\times 10$，将 $-231$ 拆为 $11\times (-21)$： $(10t-11)(10t+21)=0$

解得两个可能的 $t$ 值： $t_1=\frac{11}{10}=1.1,t_2=-\frac{21}{10}=-2.1$

• 当 $t=-2.1$ 时， $1+x=-2.1⟹x=-3.1$，不符合实际生产中增长率为正数的物理意义，舍去。
• 当 $t=1.1$ 时， $1+x=1.1⟹x=0.1$。

将小数转化为通用的百分数表达： $x=0.1=10\%$

答：十一月、十二月份平均每月增长率为 10%。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的整式化转化、二次三项式判别式与值域符号的联动、一元二次不等式的经典解法。
2. 核心方法：恒正因子剔除法、十字相乘区间卡位法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（盲目交叉相乘）：部分同学一看到分式不等式，不加判断直接两边同乘以分母，忽略了分母如果是负数会导致不等号方向翻转的潜在风险。解分式不等式时，必须优先对分母的代数符号特征做出明确判定，再进行去分母操作。

• 最终书写答案时，切记要规范地写成集合形式 $\{x\mid -2<x<3\}$ 或区间形式 $(-2,3)$，不能口语化直接输出单链不等式。

1. 核心考点：倍角公式与半角公式的逆向构造、正余弦互余诱导公式。
2. 核心方法：切化弦/弦化切转化法、降角降幂法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（结构卡壳）：很多同学将左端化简到 $\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }$ 后，不知道如何向右端的“半角正切”靠拢。必须牢记，半角正切公式 ${\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }$ 的核心驱动项是余弦因子。因此，及时利用诱导公式把 $\sin \theta$ 扭转为 $\cos (90^{\circ }-\theta )$ 是打通全题逻辑链的唯一关键突破口。

1. 核心考点：球体表面积基本公式、复合乘法应用题、实数近似估计。
2. 核心方法：模型转化法、四舍五入卡位法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（公式记错）：极其容易把球体表面积公式 $S=4\pi R^2$ 记错，误写成球体体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 或者圆面积公式 $S=\pi R^2$，导致计算方向彻底跑偏。

• 计算带有圆周率 $\pi$ 的连乘式时，建议最后一步再代入 3.14。若先算出 $S\approx 1.44\times 3.14=4.5216$，再乘以 150，会增加中间多位小数乘法的草稿纸计算量。

1. 核心考点：复合生产计划中产量的累加建模、一元二次方程的因式分解。
2. 核心方法：整体换元法、十字相乘约分法。
3. 避坑指南：

• 最致命雷区（方程误建为末项）：极易受到常规增长率大题的思维定势影响，把方程错列为 $1000(1+x{)}^2=2310$（误认为 2310 仅是十二月份单月的产量）。必须仔细审题，“再生产 2310 台”代表的是两个月产量的总和（即级数求和），必须使用加法联立。

• 最终输出结果时，习惯上将小数 $0.1$ 规范书写为百分数 $10\%$，以符合经济增长率问题的陈述规范。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》中关于分式不等式解法的经典教材主干课后题。它是后续研究高维有理分式函数单调性与值域判定时的重要代数基本功。

2. 结论推广: 本题模型属于标准的二次有理分式恒正/恒负因子退化模型。 可以一般化推广为：对于任意形式为 $\frac{x^2-(u+v)x+uv}{a{x}^2+bx+c}<0(u<v)$ 的分式结构，若其分母的判别式满足 $\Delta =b^2-4ac<0$ 且 $a>0$（即分母整体退化为恒正数常数背景），则该高维分式不等式的解集有且仅能由分子零点唯一且严格守恒为标准的去心闭合区间： $\text{解集}=(u,v)$ 在本题中， $u=-2,v=3$。直接套用此推广模型，在面对同类选择、填空大题时，可以完全跳过繁琐的配方与转化步骤，直接通过分子零点在 1 秒钟内精准出正确选项。

3. 试题探源: 本题源于高中数学关于三角函数恒等变换与特殊角互余转换的教材主干经典证明题，旨在综合考查学生处理复合角度（二倍角、单角、半角）综合交织时的结构重组基本功。

4. 结论推广: 本题模型属于标准的万能公式变体与正切半角对齐模型。 可以一般化推广为：对于任意角 $\theta$，恒满足下列优美的代数特征关联式： $\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }={\tan }^2\left(45^{\circ }-\frac{\theta }{2}\right)$ 将右端的角度进行通分拆解，即 ${\tan }^2\left(45^{\circ }-\frac{\theta }{2}\right)={\tan }^2\left(\frac{90^{\circ }-\theta }{2}\right)$，这与本题求证结论完全等价。该推广恒等式在高等数学求不定积分时（特别是微积分中利用万能代换 $t=\tan \frac{x}{2}$ 将三角有理分式转化为有理分式积分的代数变换中），具有极其高频的化简应用价值。

5. 试题探源: 本题源于立体几何中关于立体图形表面积计算的教材经典应用题。该题带有鲜明的 1970 年代时代烙印（“革命师生自己动手”），是典型的将数学理论工具与实际生产劳动相结合的典型考题。

6. 结论推广: 本题模型属于标准的球体涂装工程造价/用料通用量化模型。 可以一般化推广为：若一个直径为 $d$ 的球体表面需要进行均匀涂装，每单位面积的涂料克耗量为 $k$，则总耗用量 $W$ 的代数通项公式为： $W=k\pi d^2$ 本题中， $d=1.2,k=150$，代入公式直接得到 $W=150\times \pi \times 1.44=216\pi \approx 678$。在处理后续高维空间立体几何（如外接球、内切球的表面积涂装工程问题）中，该公式具有极佳的一点控全局的计算价值。

7. 试题探源: 本题源于初中代数（九年级上册）中关于一元二次方程实际应用的核心教材主干大题。它是复合工业产值、国民经济生产总值（GDP）连续增长模型中最具代表性的数理应用基石。

8. 结论推广: 本题模型属于标准的两期产值累加级数求和模型。 可以一般化推广为：若基期产量为 $A$，此后每期以固定增长率 $r$ 连续增长，则后续两期的总产量 $W$ 满足： $A(1+r)+A(1+r{)}^2=W⟹A(1+r{)}^2+A(1+r)-W=0$ 利用求根公式对整体 $(1+r)$ 进行显性求解，其合理的增长率正根通项恒守恒为： $r=\frac{-A+\sqrt{A^2+4AW}}{2A}-1$ 在本题中， $A=1000,W=2310$，代入推广公式可得： $r=\frac{-1000+\sqrt{1000000+4\times 1000\times 2310}}{2000}-1=\frac{-1000+\sqrt{10240000}}{2000}-1$ 因为 $\sqrt{10240000}=3200$，所以 $r=\frac{-1000+3200}{2000}-1=\frac{2200}{2000}-1=1.1-1=0.1=10\%$。掌握该顶层通用通项，在遇到任何复杂的同类工业增长率小题时，皆可免去设元与因式分解排布，直接代入公式瞬时输出正确答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

类题演练 (Links)