1977-福建卷-01 解-分数指数幂与负指数幂的运算

本题导读

本题考查分数指数幂运算、三角函数符号判定、函数定义域、梯形中位线、对数运算、极限、无理方程、分式化简、二次函数极值与三视图。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(理)） (1) 计算: $5-3\times \left[{\left(-3\frac{3}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}+1031\times (0.25-2^{-2})\right]÷9^0$.

(2) $y=\frac{\cos 160^{\circ }-\cos 170^{\circ }}{\tan 155^{\circ }}$ 的值是正的还是负的？为什么？

(3) 求函数 $y=\frac{\lg (2-x)}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域.

(4) 如图，在梯形 $ABCD$ 中， $DM=MP=PA$ ， $MN\parallel PQ\parallel AB$ ， $DC=2\text{ cm}$ ， $AB=3.5\text{ cm}$ ，求 $MN$ 和 $PQ$ 的长.

(5) 已知 $\lg 3=0.4771$， $\lg x=-3.5229$，求 $x$.

(6) 求 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-3x+2}$.

(7) 解方程: $\sqrt{4x+1}-2x+1=0$.

(8) 化简: $\frac{a^{2n+1}-6a^{2n}+9a^{2n-1}}{a^{n+1}-4a^n+3a^{n-1}}$.

(9) 求函数 $y=2-5x-3x^2$ 的极值.

(10) 画出下面 $V$ 形铁块的三视图 (只要画草图)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 找特殊项：

• $(0.25-2^{-2})$：$0.25=\frac{1}{4}$，$2^{-2}=\frac{1}{4}$，相减为 0，故 $1031\times 0=0$。
• $9^0=1$。

2. 化简负分数指数幂：

• $-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，再取负指数与立方根。

3. 求和：按乘、减顺序计算。

4. 判定分母符号：

• $155^{\circ }$ 是第二象限角，$\tan 155^{\circ }<0$。

2. 判定分子符号：

• $y=\cos x$ 在 $[0^{\circ },180^{\circ }]$ 上单调递减，$160^{\circ }<170^{\circ }$，故 $\cos 160^{\circ }>\cos 170^{\circ }$，分子为正。

3. 综合：分子正、分母负，$y<0$。

4. 列约束条件：

• $\lg (2-x)$：真数 $2-x>0$。
• $\sqrt{x-1}$ 在分母：$x-1>0$。

2. 联立求解：解不等式组取交集。

3. 几何结构：

• $DM=MP=PA$，点 $M,P$ 把左腰 $AD$ 三等分；由平行线分线段成比例，右腰 $BC$ 也被三等分。

2. 方法一（梯形中位线）：

• $MN$ 是梯形 $DCQP$ 的中位线，$MN=\frac{DC+PQ}{2}$；
• $PQ$ 是梯形 $MNBA$ 的中位线，$PQ=\frac{MN+AB}{2}$；
• 联立解二元一次方程组。

3. 方法二（等差数列）：$DC,MN,PQ,AB$ 长度成等差数列，由通项直接求。

4. 拆首数与尾数：

• $\lg x=-3.5229$ 是负小数，拆为负整数加正纯小数：$-4+0.4771$。

2. 代换：$0.4771=\lg 3$，$-4=\lg 10^{-4}$。

3. 合并求真数：$\lg x=\lg (3\times 10^{-4})$。

4. 判定类型：$x\to 1$ 时分子、分母都趋于 0，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。

5. 因式分解：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$。

6. 约分求值：约去 $(x-1)$，代入 $x=1$。

7. 分离根式：移项得 $\sqrt{4x+1}=2x-1$。

8. 平方去根号：平方前注意 $2x-1\ge 0$，$4x+1\ge 0$。

9. 解方程并验根：解一元二次方程，代入原方程验根，剔除增根。

10. 提取公因式：

• 分子提 $a^{2n-1}$，得 $a^2-6a+9$；
• 分母提 $a^{n-1}$，得 $a^2-4a+3$。

2. 因式分解：分子 $(a-3{)}^2$，分母 $(a-1)(a-3)$。

3. 约分：约去 $a-3$，再处理同底数幂。

4. 判断开口：$y=-3x^2-5x+2$，二次项系数 $-3<0$，开口向下，在顶点取极大值。

5. 求极值：

• 方法一（配方）：化为顶点式；

• 方法二（求导）：令 $y^{\prime }=0$ 求驻点。

1. 正视图：外框矩形，上方中部有 $V$ 形凹陷，全部可见，画实线。

2. 俯视图：大矩形，内部三条纵向棱线可见，画实线。

3. 侧视图：外框矩形，凹槽底面与斜面棱线被遮挡，画虚线。

✅【答案】

Success

表现为一个标准矩形，内部由于中部凹槽形成的转折面无法直接视见，在其对应高度上平行绘制水平虚线

✍【详细解析】

Abstract

原式为： $5-3\times \left[{\left(-3\frac{3}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}+1031\times (0.25-2^{-2})\right]÷9^0$

分别化简：

• 第一项：化简指数幂 $-3\frac{3}{8}=-\frac{3\times 8+3}{8}=-\frac{27}{8}$ ${\left(-\frac{27}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}={\left(-\frac{8}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$

• 第二项：化简乘法项 $0.25=\frac{1}{4},2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$ $0.25-2^{-2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ $1031\times (0.25-2^{-2})=1031\times 0=0$

• 第三项：化简除数 $9^0=1$

代回原式： $\text{原式}=5-3\times \left[-\frac{2}{3}+0\right]÷1$ $\text{原式}=5-3\times \left(-\frac{2}{3}\right)$

负负得正： $\text{原式}=5+\left(3\times \frac{2}{3}\right)$ $\text{原式}=5+2=7$

结论：$y$ 的值是负的。

理由：

• 第一步：判定分子符号 余弦函数 $y=\cos x$ 在 $[0^{\circ },180^{\circ }]$ 上单调递减， 又 $0^{\circ }<160^{\circ }<170^{\circ }<180^{\circ }$， 所以： $\cos 160^{\circ }>\cos 170^{\circ }$ 即分子为正： $\cos 160^{\circ }-\cos 170^{\circ }>0$

• 第二步：判定分母符号 $90^{\circ }<155^{\circ }<180^{\circ }$，$155^{\circ }$ 是第二象限角。 正切在第二象限为负： $\tan 155^{\circ }<0$

• 第三步：综合判定 分子正、分母负，由除法符号法则： $y<0$

综上， $y=\frac{\cos 160^{\circ }-\cos 170^{\circ }}{\tan 155^{\circ }}$ 的值是负的。

要使函数有意义，$x$ 须满足： $\{\begin{array}{l}2-x>0\text{（真数大于零）}\\ x-1>0\text{（分母且被开方数大于零）}\end{array}$

分别解：

• 由 $2-x>0$ 得： $x<2$
• 由 $x-1>0$ 得： $x>1$

取交集： $1<x<2$

所以，原函数的定义域为： $\{x\mid 1<x<2\}$

方法一：梯形中位线

在梯形 $ABCD$ 中，$DC\parallel AB$，$MN\parallel PQ\parallel AB$，故 $DC\parallel MN\parallel PQ\parallel AB$。 由 $DM=MP=PA$，根据平行线分线段成比例定理，右腰也被三等分： $CN=NQ=QB$

• 第一步：看上层梯形 在梯形 $DCQP$ 中，$DM=MP$ 且 $CN=NQ$，所以 $MN$ 是梯形 $DCQP$ 的中位线。 由梯形中位线定理： $MN=\frac{DC+PQ}{2}$ 代入 $DC=2$： $MN=\frac{2+PQ}{2}⟹2MN-PQ=2\text{(1)}$

• 第二步：看下层梯形 在梯形 $MNBA$ 中，$MP=PA$ 且 $NQ=QB$，所以 $PQ$ 是梯形 $MNBA$ 的中位线。 由梯形中位线定理： $PQ=\frac{MN+AB}{2}$ 代入 $AB=3.5$： $PQ=\frac{MN+3.5}{2}⟹2PQ-MN=3.5\text{(2)}$

• 第三步：联立求解 $\{\begin{array}{l}2MN-PQ=2\\ -MN+2PQ=3.5\end{array}$ 由第一式得 $PQ=2MN-2$，代入第二式： $-MN+2(2MN-2)=3.5$ $-MN+4MN-4=3.5$ $3MN=7.5⟹MN=2.5\text{ (cm)}$ 回代： $PQ=2\times 2.5-2=5-2=3\text{ (cm)}$

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方法二：等差数列

梯形双腰被平行线三等分，$DC,MN,PQ,AB$ 的长度成等差数列。

设公差为 $d$： $DC=2$ $MN=2+d$ $PQ=2+2d$ $AB=2+3d=3.5$

由 $2+3d=3.5$： $3d=3.5-2=1.5⟹d=0.5\text{ (cm)}$

于是： $MN=2+0.5=2.5\text{ (cm)}$ $PQ=2+2\times 0.5=2+1=3\text{ (cm)}$

已知： $\lg x=-3.5229$

把负对数拆为负整数加正纯小数： $\lg x=-3-0.5229$ $\lg x=(-3-1)+(1-0.5229)$ $\lg x=-4+0.4771$

由 $\lg 3=0.4771$，$-4=\lg 10^{-4}$： $\lg x=\lg 10^{-4}+\lg 3$

由 $\lg M+\lg N=\lg (M\cdot N)$： $\lg x=\lg (3\times 10^{-4})$

得： $x=3\times 10^{-4}$

即： $x=0.0003$

方法一：因式分解

原式为： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-3x+2}$

分母因式分解： $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

代入： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-3x+2}={\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}$

当 $x\to 1$ 时 $x\ne 1$，约去 $(x-1)$： ${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x-2}$

代入 $x=1$： $\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$

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方法二：洛必达法则

该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，分子分母在 $x=1$ 邻域内可导，由洛必达法则： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-3x+2}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1{)}^{\prime }}{(x^2-3x+2{)}^{\prime }}={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{2x-3}$

代入 $x=1$： $\frac{1}{2\times 1-3}=\frac{1}{-1}=-1$

方法一：移项平方

原方程： $\sqrt{4x+1}-2x+1=0$

移项： $\sqrt{4x+1}=2x-1$

两边平方： $4x+1=(2x-1{)}^2$

展开： $4x+1=4x^2-4x+1$

移项合并： $4x^2-8x=0$

因式分解： $4x(x-2)=0$

得： $x_1=0,x_2=2$

验根：

• 当 $x=0$ 时，左端 $=\sqrt{4(0)+1}-2(0)+1=1-0+1=2$，右端 $=0$，不相等，故 $x=0$ 是增根，舍去。
• 当 $x=2$ 时，左端 $=\sqrt{4(2)+1}-2(2)+1=\sqrt{9}-4+1=3-4+1=0$，右端 $=0$，相等，故 $x=2$ 是原方程的解。

所以，原方程的解为： $x=2$

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方法二：换元

设 $\sqrt{4x+1}=t(t\ge 0)$，则 $4x+1=t^2$，$2x=\frac{t^2-1}{2}$。 代入原方程： $t-\frac{t^2-1}{2}+1=0$

两边同乘 2： $2t-(t^2-1)+2=0⟹-t^2+2t+3=0$ 即： $t^2-2t-3=0⟹(t-3)(t+1)=0$

得 $t=3$ 或 $t=-1$。 由 $t\ge 0$，舍去 $t=-1$，取 $t=3$。 回代： $\sqrt{4x+1}=3⟹4x+1=9⟹4x=8⟹x=2$

所以，原方程的解为 $x=2$。

原式为： $\frac{a^{2n+1}-6a^{2n}+9a^{2n-1}}{a^{n+1}-4a^n+3a^{n-1}}$

• 第一步：提取公因式 由 $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$：
• 分子提取 $a^{2n-1}$： $a^{2n+1}-6a^{2n}+9a^{2n-1}=a^{2n-1}(a^2-6a+9)$
• 分母提取 $a^{n-1}$： $a^{n+1}-4a^n+3a^{n-1}=a^{n-1}(a^2-4a+3)$

代回： $\text{原式}=\frac{a^{2n-1}(a^2-6a+9)}{a^{n-1}(a^2-4a+3)}$

• 第二步：因式分解
• 分子： $a^2-6a+9=(a-3{)}^2$
• 分母： $a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$

代入： $\text{原式}=\frac{a^{2n-1}\cdot (a-3{)}^2}{a^{n-1}\cdot (a-1)(a-3)}$

• 第三步：约分 当 $a\ne 0,a\ne 1,a\ne 3$ 时，约去 $(a-3)$： $\text{原式}=\frac{a^{2n-1}\cdot (a-3)}{a^{n-1}\cdot (a-1)}$

同底数幂相除： $\frac{a^{2n-1}}{a^{n-1}}=a^{(2n-1)-(n-1)}=a^{2n-1-n+1}=a^n$

最终： $\text{原式}=\frac{a^n(a-3)}{a-1}$

方法一：配方

$y=-3x^2-5x+2$

提取 $-3$： $y=-3\left(x^2+\frac{5}{3}x\right)+2$

配方： $y=-3\left(x^2+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}-\frac{25}{36}\right)+2$ $y=-3{\left(x+\frac{5}{6}\right)}^2+3\times \frac{25}{36}+2$ $y=-3{\left(x+\frac{5}{6}\right)}^2+\frac{25}{12}+\frac{24}{12}$ $y=-3{\left(x+\frac{5}{6}\right)}^2+\frac{49}{12}$

因二次项系数 $-3<0$，开口向下，当 $x=-\frac{5}{6}$ 时取极大值： $y_{\text{极大值}}=\frac{49}{12}$

---

方法二：导数法

对 $y=2-5x-3x^2$ 求导： $y^{\prime }=-5-6x$

令 $y^{\prime }=0$： $-5-6x=0⟹x=-\frac{5}{6}$

又 $y^{\prime \prime }=-6<0$，故 $x=-\frac{5}{6}$ 是极大值点。 代入： $y=2-5\left(-\frac{5}{6}\right)-3{\left(-\frac{5}{6}\right)}^2$ $y=2+\frac{25}{6}-3\times \frac{25}{36}$ $y=2+\frac{25}{6}-\frac{25}{12}$

通分： $y=\frac{24}{12}+\frac{50}{12}-\frac{25}{12}=\frac{49}{12}$

所以，该函数的极大值为 $\frac{49}{12}$，无极小值。

按平行投影规则（长对正、高平齐、宽相等）画草图：

1. 正视图

外框为矩形，内部凹槽为非对称 $V$ 形切口（全实线）。

2. 俯视图

大矩形被三条纵向实线分割，对应凹槽内部的转折棱边。

3. 侧视图（左视图）

外框为矩形，内部凹槽的转折面被遮挡，在对应高度上画水平虚线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分数与指数幂转换、零因子识别。
2. 核心方法：先化简特殊项、利用零因子。
3. 避坑指南：

• 不要盲目硬算：先观察发现 $0.25-2^{-2}=0$，整体消去 $1031\times 0$，避免无效运算。

• 带分数符号：$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，负号作用于整个数，别错写成 $-\frac{21}{8}$。

1. 核心考点：各象限三角函数符号、余弦函数单调性。
2. 核心方法：单调性判定法、象限符号法。
3. 避坑指南：

• 单调性记反：在 $[0^{\circ },180^{\circ }]$ 上余弦单调递减，别误判 $\cos 160^{\circ }<\cos 170^{\circ }$。

• 书写要完整：先交代分子、分母各自正负，再综合判定，不能只写”负的”。

1. 核心考点：对数真数大于零、分母根式大于零、不等式组取交集。
2. 核心方法：联立不等式组法。
3. 避坑指南：

• 边界符号：分母的根式应写 $x-1>0$，不能写成 $\ge 0$（$x=1$ 时分母为 0）。

• 规范表达：结果写集合 $\{x\mid 1<x<2\}$ 或区间 $(1,2)$。

1. 核心考点：平行线分线段成比例、梯形中位线定理。
2. 核心方法：梯形中位线法、等差数列法。
3. 避坑指南：

• 看清中位线对应关系：别把公式写成 $PQ=\frac{DC+MN}{2}$。

• 带单位：结果要写 $\text{cm}$。

1. 核心考点：对数首数与尾数、逆对数求法。
2. 核心方法：拆首数尾数法。
3. 避坑指南：

• 拆项符号：$-3.5229$ 不能拆成 $-3+0.5229$。尾数须为正，应拆成 $-4+0.4771$。

1. 核心考点：未定式极限、因式分解、连续函数直接代入。
2. 核心方法：零因子约分法、洛必达法则。
3. 避坑指南：

• 不能直接代入：直接代入得 $\frac{0}{0}$，须先判断未定式类型，再约分或求导。

• 极限符号不能漏：未代入求值前，每一步都要写 ${\lim }_{x\to 1}$。

1. 核心考点：无理方程平方转化、算术平方根非负性。
2. 核心方法：移项平方法、换元法。
3. 避坑指南：

• 忘记验根：平方可能产生增根，解出后须代回原方程检验。

1. 核心考点：同底数幂提取公因式、二次多项式因式分解。
2. 核心方法：提公因式法、十字相乘法。
3. 避坑指南：

• 指数提取：分子提 $a^{2n-1}$ 后，第一项剩 $a^2$（因 $(2n+1)-(2n-1)=2$），别写错。

1. 核心考点：二次函数顶点求法、极值的表述。
2. 核心方法：配方法、导数法。
3. 避坑指南：

• 表述完整：除了写数值 $\frac{49}{12}$，还要指出是极大值，并说明无极小值。

1. 核心考点：三视图投影规则、虚实线规范。
2. 核心方法：平行投影法。
3. 避坑指南：

• 漏画虚线：侧视图中被遮挡的槽底、斜面棱线要画虚线。可见的用实线，不可见但存在的轮廓用虚线。

• 保持结构对应：正视图中 $V$ 形凹槽的非对称结构，三视图中要对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查指数幂运算。

2. 结论推广：对含零因子 $(k-k)$ 的算式，可先观察整体结构，把 $C^0=1$ 和零因子项先行化简，再计算，可减少运算量。

3. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查三角函数符号判定。

4. 结论推广：对 $Y=\frac{\cos \alpha -\cos \beta }{\tan \gamma }$，若 $90^{\circ }\le \alpha <\beta \le 180^{\circ }$ 且 $90^{\circ }<\gamma <180^{\circ }$，则余弦在第二象限单调递减使分子为正，正切在第二象限为负，故 $Y<0$。

5. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查函数定义域。

6. 结论推广：对 $y=\frac{{\log }_a(x_2-x)}{\sqrt{x-x_1}}$（$x_1<x_2$），定义域为 $(x_1,x_2)$。

7. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查梯形中位线与平行线分线段成比例。

8. 结论推广：梯形上底为 $a$、下底为 $b$，双腰被平行于底边的直线 $n$ 等分，则从上往下第 $k$ 条截线段长 $L_k=a+\frac{b-a}{n}\cdot k$（$k=1,2,\dots ,n-1$）。本题 $a=2,b=3.5,n=3$，得 $MN=2.5$，$PQ=3$。

9. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查常用对数首尾数与逆对数。

10. 结论推广：若 $\lg a=\varphi$（$0\le \varphi <1$），$\lg x=-(n+1-\varphi )$，则 $x=a\times 10^{-(n+1)}$。本题 $a=3,\varphi =0.4771$，$\lg x=-3.5229=-(3+1-0.4771)$，得 $x=3\times 10^{-4}=0.0003$。

11. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查未定式极限。

12. 结论推广：对 $L={\lim }_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{x^2-(x_0+k)x+x_{0}k}$（$x_0\ne k$），分母可分解为 $(x-x_0)(x-k)$，约分得 $L=\frac{1}{x_0-k}$。本题 $x_0=1,k=2$，得 $-1$。

13. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查无理方程的解法。

14. 结论推广：解无理方程时先移项使根式单独在一边，平方去根号前注意右端非负，解出后必须验根。

15. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查分式化简。

16. 结论推广：对 $\frac{a^{2n+\alpha }-(u+v)a^{2n+\alpha -1}+uv{a}^{2n+\alpha -2}}{a^{n+\beta }-(u+w)a^{n+\beta -1}+uw{a}^{n+\beta -2}}$，分别提取最低次幂并分解、约去 $(a-u)$，得 $a^{n+\alpha -\beta }\cdot \frac{a-v}{a-w}$。本题 $\alpha =1,\beta =1,u=3,v=3,w=1$，得 $\frac{a^n(a-3)}{a-1}$。

17. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查二次函数极值。

18. 结论推广：对 $y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$），极值点在 $x=-\frac{b}{2a}$，极值 $y=\frac{4ac-b^2}{4a}$。本题 $a=-3,b=-5,c=2$，得 $\frac{49}{12}$，为极大值。

19. 试题探源：本题为 1977 年福建卷(理)第 1 题，考查三视图。

20. 结论推广：柱体由截面沿纵向平移形成，其正视图等于截面形状，俯视图、侧视图外轮廓为矩形，内部虚实线由截面各转折处的可见性决定。

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