1977-福建文-05 解-双曲线切线数值解

本题导读

本题考查双曲线与圆相切（含数值解方程）。核心在于 $2/\alpha -\tan \alpha =1$ 无解析解，用单调性与二分法逼近，再由隐函数求导定切线与圆心、半径。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{24\alpha }-\frac{y^2}{16\cot \alpha }=1$（$\alpha$ 为锐角）和圆 $(x-m{)}^2+y^2=r^2$ 相切于点 $A(4\sqrt{3},4)$，求 $\alpha$，$m$，$r$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

把 $A$ 代入双曲线得 $2/\alpha -\tan \alpha =1$；令 $F(t)=2/t-\tan t-1$，$F$ 严格递减且两端变号，有唯一根，二分法逼近 $\alpha \approx 0.89249342$；对双曲线隐函数求导得切线斜率 $k$，半径 $CA$ 斜率为 $-1/k$，解出 $m$；再由两点距离得 $r$。

✅【答案】

Success

$\alpha \approx 0.89249342$（弧度），$m\approx 11.09865443$，$r\approx 5.77863853$

✍【详细解析】

Abstract

将点 $A(4\sqrt{3},4)$ 代入双曲线方程，得 $\frac{48}{24\alpha }-\frac{16}{16\cot \alpha }=1$，即 $\frac{2}{\alpha }-\tan \alpha =1$。令 $F(t)=\frac{2}{t}-\tan t-1$。因为 $0<t<\frac{\pi }{2}$，所以 $F^{\prime }(t)=-\frac{2}{t^2}-{\sec }^{2}t<0$，又 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }F(t)=+\infty$，$\underset{t\to (\pi /2{)}^{-}}{\lim }F(t)=-\infty$，故方程 $F(t)=0$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内有且只有一个根。用二分法逐步缩小区间，例如 $F(0.8924934185)\approx 3.81\times 10^{-11}>0$，$F(0.89249341851)\approx -1.24\times 10^{-11}<0$。由于 $F$ 严格递减，故 $0.8924934185<\alpha <0.89249341851$，从而 $\alpha \approx 0.89249342$（弧度），代入正切函数得 $\tan \alpha \approx 1.24091288$。 对双曲线方程两边关于 $x$ 求导，得 $\frac{x}{12\alpha }-\frac{y{y}^{\prime }}{8\cot \alpha }=0$，所以在点 $A$ 处的切线斜率为 $k=y^{\prime }=\frac{2x\cot \alpha }{3\alpha y}=\frac{2\sqrt{3}\cot \alpha }{3\alpha }$。圆心为 $C(m,0)$，圆在点 $A$ 处的半径垂直于切线，故半径 $CA$ 的斜率为 $-1/k$，因而 $\frac{4}{4\sqrt{3}-m}=-\frac{1}{k}=-\frac{\sqrt{3}\alpha \tan \alpha }{2}$。由此 $4k=m-4\sqrt{3}$，所以 $m=4\sqrt{3}+4k=4\sqrt{3}+\frac{8}{\sqrt{3}\alpha \tan \alpha }\approx 11.09865443$。又因为 $4\sqrt{3}-m=-4k$，故 $r^2=C{A}^2=(4\sqrt{3}-m{)}^2+4^2=16k^2+16=\frac{64}{3{\alpha }^2{\tan }^2\alpha }+16$，所以 $r=\sqrt{16+\frac{64}{3{\alpha }^2{\tan }^2\alpha }}\approx 5.77863853$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线切线数值解

核心方法：隐函数求导+数值求根

避坑指南：$2/\alpha -\tan \alpha =1$ 单调有唯一根，二分法逼近

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数值解

结论推广：$\alpha \approx 0.89249342$，$m\approx 11.0987$，$r\approx 5.7786$

方法推广：单调性保证唯一根

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-重庆文-15 填-导数求切线方程
• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程