1977-湖北-05 解-正弦型函数图象

本题导读

本题考查三角函数图象。核心在于辅助角化 $y=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$，读出周期 $\pi$、振幅 $2$，再列五点表画草图。

📌【题干】

Question

（1977年湖北卷） 作函数 $y=\sqrt{3}\cos 2x+\sin 2x$ 的图象（要求写出作图步骤，并画出草图）.

🔍【思路分析】

破题导航

$y=2(\sin \frac{\pi }{3}\cos 2x+\cos \frac{\pi }{3}\sin 2x)=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$；周期 $\pi$、振幅 $2$；取 $x=-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{12},\frac{5\pi }{6}$ 五点列表描图。

✅【答案】

Success

$y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，周期为 $\pi$，振幅为 $2$，图象见解析

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sqrt{3}\cos 2x+\sin 2x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)=2\left(\sin \frac{\pi }{3}\cos 2x+\cos \frac{\pi }{3}\sin 2x\right)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。 所以这个函数的周期为 $\pi$，振幅为 $2$。 列表：$x$ 取 $-\frac{\pi }{6}$，$\frac{\pi }{12}$，$\frac{\pi }{3}$，$\frac{7\pi }{12}$，$\frac{5\pi }{6}$ 时，$y$ 依次为 $0$，$2$，$0$，$-2$，$0$。描点作图得草图：

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数图象

核心方法：化正弦型+五点作图

避坑指南：$y=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$，周期 $\pi$、振幅 $2$，列五点表

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象

结论推广：$y=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$，周期 $\pi$，振幅 $2$

方法推广：五点列表

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2001-新课标理-01 单-正弦型函数的周期与振幅