1977-浙江-04 解-弦化切求值

本题导读

本题考查同角三角函数求值。核心在于分子分母同除 $\cos \alpha$ 化为 $\tan \alpha$ 的式子。

📌【题干】

Question

（1977年浙江卷） 已知 $\tan \alpha =\sqrt{2}$，求 $\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母同除 $\cos \alpha$，得 $\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }$，代入 $\tan \alpha =\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$-3-2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha \left(1+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}{\cos \alpha \left(1-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^2}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=-(3+2\sqrt{2})=-3-2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦化切求值

核心方法：弦化切

避坑指南：分子分母同除 $\cos \alpha$ 得 $\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求值

结论推广：$-3-2\sqrt{2}$

方法推广：弦化切

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-02 单-弦化切求值
• 2009-辽宁文-08 单-同角三角齐次式