1977-河南-06 解-切弦互化证恒等式

本题导读

本题考查三角恒等式证明。核心在于切化弦得 $\frac{{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$，连续用平方差、二倍角与降幂公式收拢为右边。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 求证：${\tan }^2\alpha -{\cot }^2\alpha =-\frac{2\sin 4\alpha }{{\sin }^{3}2\alpha }$

🔍【思路分析】

破题导航

左边 $=\frac{{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\alpha }=\frac{-\cos 2\alpha }{\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\alpha }=\frac{-4\cos 2\alpha \sin 2\alpha }{{\sin }^{3}2\alpha }=\frac{-2\sin 4\alpha }{{\sin }^{3}2\alpha }$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

左边 $={\tan }^2\alpha -{\cot }^2\alpha =\frac{{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{-\cos 2\alpha }{\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\alpha }=\frac{-4\cos 2\alpha \cdot \sin 2\alpha }{{\sin }^{2}2\alpha \cdot \sin 2\alpha }=-\frac{2\sin 4\alpha }{{\sin }^{3}2\alpha }=$ 右边。 所以 ${\tan }^2\alpha -{\cot }^2\alpha =-\frac{2\sin 4\alpha }{{\sin }^{3}2\alpha }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切弦互化证恒等式

核心方法：化弦+降幂

避坑指南：切化弦得 $\frac{-\cos 2\alpha }{\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\alpha }$，再倍角化 $-2\sin 4\alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：见解析

方法推广：切化弦降幂

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-07 单-同角三角函数的倒数关系与二倍角