1977-河北卷-09 解-函数的泰勒展开式

本题导读

本题考查 $e^x$ 的麦克劳林展开式及幂级数收敛区间的求法。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 将函数 $f(x)=e^x$ 展开为 $x$ 的幂级数，并求出收敛区间. ($e=2.718$ 为自然对数的底数)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求各阶导数在 $x=0$ 的值：

• $f^{(n)}(x)=e^x$，故 $f^{(n)}(0)=e^0=1$。

2. 写麦克劳林级数：

• $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$，代入 $f^{(n)}(0)=1$。

3. 求收敛区间：

• 通项 $u_n(x)=\frac{x^n}{n!}$，用比值审敛法求 $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|$。

• 由 $\rho <1$ 得收敛半径与收敛区间。

✅【答案】

Success

${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$，收敛区间为 $(-\infty ,+\infty )$。

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：求各阶导数值 因为 $f(x)=e^x$， 求任意阶导数都不变： $f^{\prime }(x)=e^x,f^{\prime \prime }(x)=e^x,\dots ,f^{(n)}(x)=e^x(n=1,2,3,\dots )$

代入 $x=0$： $f(0)=e^0=1$ $f^{(n)}(0)=e^0=1(n=1,2,3,\dots )$

• 第二步：写麦克劳林展开式 由麦克劳林公式： $f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\dots$

代入 $f^{(n)}(0)=1$： $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

• 第三步：用比值审敛法求收敛区间 设通项 $u_n=\frac{x^n}{n!}$，则 $u_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$。 由比值审敛法： $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right|$

化简： $\rho ={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{x^{n+1}}{x^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!}\right|={\lim }_{n\to \infty }\left|x\cdot \frac{1}{n+1}\right|$

把 $|x|$ 移到极限号外： $\rho =|x|\cdot {\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n+1}$

当 $n\to \infty$ 时，$\frac{1}{n+1}\to 0$，所以对任意实数 $x$： $\rho =|x|\times 0=0$

• 第四步：确定收敛区间 由比值审敛法，$\rho <1$ 时级数绝对收敛。 因 $\rho =0$ 对任意 $x\in (-\infty ,+\infty )$ 都小于 $1$，所以收敛半径 $R=+\infty$，收敛区间为 $(-\infty ,+\infty )$。

综上： 函数 $f(x)=e^x$ 的幂级数展开式为 $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\dots$； 其对应的收敛区间为 $(-\infty ,+\infty )$（或表示为 $-\infty <x<+\infty$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：麦克劳林展开式、比值审敛法求收敛半径。
2. 核心方法：导数代入法、比值极限法。
3. 避坑指南：

• 阶乘化简：$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}$，别约分成 $n+1$，否则会算错极限。

• 收敛区间写法：收敛区间两端是 $\pm \infty$，用开区间 $(-\infty ,+\infty )$ 表示。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年河北卷第 9 题，考查幂级数展开与收敛区间。

2. 结论推广：由欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，可推出正弦、余弦的幂级数展开： $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots x\in (-\infty ,+\infty )$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots x\in (-\infty ,+\infty )$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)