1977-河北卷-08 解-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 下列两题选做一题. 【甲】 已知椭圆短轴长为 $2$，中心与抛物线 $y^2=4x$ 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长. 【乙】 已知菱形的一对内角各为 $60^{\circ }$，边长为 $4$，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形 $60^{\circ }$ 角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.

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✅【答案】

Success

（详见详细解析）

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆基本量 $a,b,c$ 核心互化方程、抛物线焦点坐标性质、菱形对角线垂直平分以及三角函数坐标化。
2. 核心方法：数形结合坐标构建法、待定系数法。
3. 避坑指南：

• 【乙】题建系大雷区（特殊点身份判定失误）：很多同学算出 $OB=2$ 后，不知道 $B(0,2)$ 恰好就是椭圆的短轴端点（即 $b=2$），而是盲目设出方程后把点代入去联立，导致运算量激增。只要看到过交点轴垂直平分线上的点，它在几何形态上就是短轴（或双曲线的虚轴）端点，可以直接提取 $b$ 值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修第二册《圆锥曲线与方程》章节中关于椭圆标准方程求解的经典教材大题。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的正多边形/规则几何构筑圆锥曲线约束模型。 可以一般化推广为：若任意一个已知边长为 $L$，内角为 $\theta (\theta <90^{\circ })$ 的菱形，以其 $\theta$ 角的两个顶点为焦点，另外两个顶点为短轴端点作椭圆，则该椭圆的各基准参数恒严格守恒满足： $b=L\sin \frac{\theta }{2},c=L\cos \frac{\theta }{2},a=L$ 由此可得，该族椭圆的离心率恒为固定常数： $e=\frac{c}{a}=\cos \frac{\theta }{2}$。在本题【乙】中， $\theta =60^{\circ },L=4$，直接代入通项口算： $b=4\times \sin 30^{\circ }=2,a=L=4⟹a^2=16,b^2=4$，瞬时写出标准方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

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