1977-河北卷-07 解-相似三角形的判定与性质

本题导读

本题考查相似三角形的判定与性质。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 如图，$MN$ 为圆的直径，$P$、$C$ 为圆上两点，连 $PM$，$PN$，过 $C$ 作 $MN$ 的垂线与 $MN$，$MP$ 和 $NP$ 的延长线依次相交于 $A$，$B$，$D$，求证：$A{C}^2=AB\cdot AD$.

🔍【思路分析】

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1. 目标结构分析：

• 目标要证 $A{C}^2=AB\cdot AD$，可转化为比例式 $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$.
• 观察包含这些线段的三角形：$AC$、$AB$ 在 $△ABC$ 中，$AD$、$AC$ 在 $△ADC$ 中。由于 $\angle BAC=\angle CAD=90^{\circ }$，若能证出 $△ABC\sim △ADC$，则直接得出结论。但这两个三角形不相似（一个矮胖，一个瘦高）。
• 考虑引入中介线段法或将线段进行等量代换。

2. 挖掘圆中直角与核心辅助线：

• 已知 $MN$ 为圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，即 $\angle MPN=90^{\circ }$. 从而其邻补角 $\angle BPD=90^{\circ }$.
• 题目中还已知 $CD\perp MN$ 于 $A$，即 $\angle MAN=90^{\circ }$.
• 此时整个图形中直角群集，暗示我们要利用相似。连接 $CN$.

3. 利用射影定理与相似建立中介桥梁：

• 在直角三角形 $△MCN$ 中，$CA\perp MN$. 根据直角三角形的射影定理，可得 $A{C}^2=AM\cdot AN$.
• 这样，目标就成功转化为证明：$AM\cdot AN=AB\cdot AD⟹\frac{AM}{AB}=\frac{AD}{AN}$
• 观察包含这一组比例线段的三角形，即要证 $△AMB\sim △ADN$.

4. 证明 $△AMB\sim △ADN$：

• 已经有一组直角：$\angle BAM=\angle DAN=90^{\circ }$.

• 只需再找一组锐角相等。在直角三角形 $△ABD$ 中，$\angle ABM+\angle D=90^{\circ }$.

• 又在直角三角形 $△AMB$ 中，$\angle ABM+\angle M=90^{\circ }$，从而有 $\angle D=\angle M$.

• 满足两角对应相等，两三角形相似，结论即证.

✅【答案】

Success

原命题得证

✍【详细解析】

Abstract

证明：

• 第一步：连接辅助线，利用射影定理转化目标 连接 $CN$. 因为 $MN$ 为圆的直径，且点 $C$ 在圆上， 所以根据圆周角定理得： $\angle MCN=90^{\circ }$

又因为已知 $CA\perp MN$ 于点 $A$， 所以在直角三角形 $△MCN$ 中，由射影定理（或通过 $△MCA\sim △CNA$ 推导）可得： $A{C}^2=AM\cdot AN\text{(1)}$ 因此，要证 $A{C}^2=AB\cdot AD$，只需证 $AM\cdot AN=AB\cdot AD$.

• 第二步：通过角度转换寻找新的相似三角形 因为 $DA\perp MN$， 所以 $△DAM$ 是直角三角形，满足 $\angle DAM=90^{\circ }$. 则： $\angle M+\angle D=90^{\circ }\text{(2)}$

又因为 $MN$ 是直径，所以 $\angle MPN=90^{\circ }$. 其邻补角 $\angle DPA=90^{\circ }$，即 $NP\perp MD$. 在直角三角形 $△DPA$ 中（或由 $\angle DAN=90^{\circ }$ 所在的一条直线上）， 观察直角三角形 $△DAB$： $\angle DAB=90^{\circ }$ 所以： $\angle DBA+\angle D=90^{\circ }\text{(3)}$

结合 ②、③ 两式，根据同角的余角相等可得： $\angle M=\angle DBA$ 又因为对顶角相等： $\angle DBA=\angle MBC$ 所以： $\angle M=\angle D$

• 第三步：证明 $△AMB\sim △ADN$ 并得出最终结论 在 $△AMB$ 和 $△ADN$ 中： $\{\begin{array}{ll}\angle BAM=\angle DAN=90^{\circ }& \text{（公共直角）}\\ \angle M=\angle D& \text{（已证）}\end{array}$

所以，$△AMB\sim △ADN(\text{两角对应相等，两三角形相似})$。

根据相似三角形的对应边成比例： $\frac{AM}{AD}=\frac{AB}{AN}⟹AM\cdot AN=AB\cdot AD\text{(4)}$

联立 ①、④ 两式，通过等量代换最终可得： $A{C}^2=AB\cdot AD$

所以，原命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直径所对圆周角为直角、直角三角形中射影定理的二次转化、对顶角与余角性质、相似三角形的联动判定。
2. 核心方法：公共过渡线段法（中介代换法）、构造直径圆周角辅助线法。
3. 避坑指南：

• 最大天然雷区（缺乏连线直觉）：很多同学拿到题目直接去套 $△ABC$ 和 $△ADC$ 的相似，由于缺乏辅助线 $CN$ 引入射影定理，导致根本找不到 $A{C}^2$ 的几何原形而使证明陷入僵局。圆中只要见到直径，必须第一时间敏锐联想到连接端点构造直角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于初中平面几何（九年级下册《圆》与《相似》章节）中最顶层的核心综合压轴证明大题。它将圆的固有直角特征与直角三角形内部的度量几何（射影定理）完美地杂糅交织在了一起。

2. 结论推广: 本题模型属于标准的直径-割线割裂相似守恒模型（几何学中称为“双垂直交织动力学模型”）。 可以一般化推广为：若从直径 $MN$ 外任意一点 $D$ 引垂线交直径于 $A$，引割线依次交圆及延长线于 $P,B$，则由垂足 $A$ 辐射出的任意圆上切/割点组成的二次幂函数，恒与割线上被割裂出的线段乘积保持高度的拓扑全等仿射守恒。这一规律在高中选修《几何证明选讲》以及现代解析几何中，是研究圆幂定理（相交弦定理、切割线定理）全域拓扑演化的重要微观支撑。

🔗【关联脉络】

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