1977-河北卷-04 解-对数方程的解法

本题导读

本题考查对数方程的解法。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 已知 $2\lg x+\lg 2=\lg (x+6)$，求 $x$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 锁定真数定义域条件：对数式要有意义，所有真数必须严格大于零。方程中含有 $\lg x$ 和 $\lg (x+6)$，由此建立初始代数屏障： $x>0$ 且 $x+6>0$，交集锁定 $x>0$。
2. 同底数对数合并：

• 优先利用性质 $n\lg a=\lg a^n$，将左端首项 $2\lg x$ 变形为 $\lg x^2$。
• 再利用对数的加法变乘法性质 $\lg A+\lg B=\lg (A\cdot B)$，将左端合拢为一个单一的对数项 $\lg (2x^2)$。

3. 脱去对数号解方程：令两端真数相等，将对数方程降维化为标准的一元二次方程，求解得到两个实数根。

4. 回代校验排除伪根：将解得的根与第一步锁定的定义域 $x>0$ 进行对齐卡位，剔除使真数无意义的无效负根。

✅【答案】

Success

$x=2$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：确定真数的定义域范围 要使原对数方程有意义，各对数项的真数必须严格大于零： $\{\begin{array}{l}x>0\\ x+6>0\end{array}⟹x>0$

• 第二步：利用对数性质公式化简方程 原方程为： $2\lg x+\lg 2=\lg (x+6)$

利用对数的幂次前置性质 $n\lg A=\lg A^n$，将左边第一项变形： $\lg x^2+\lg 2=\lg (x+6)$

利用同底数对数的相加变真数相乘性质 $\lg A+\lg B=\lg (AB)$ 合并左端： $\lg (2x^2)=\lg (x+6)$

• 第三步：脱去对数符号，求解一元二次方程 根据对数函数的单射性（两边真数相等），去掉对数号 $\lg$ 得： $2x^2=x+6$

移项整理为一元二次方程的标准形式： $2x^2-x-6=0$

运用十字相乘法对左侧多项式进行因式分解： $(2x+3)(x-2)=0$

解得两个实数根： $x_1=-\frac{3}{2},x_2=2$

• 第四步：结合定义域进行实根校验 将解出的两根与初始真数限制条件 $x>0$ 进行对照：
• 对于 $x_1=-\frac{3}{2}$，不满足 $x>0$，代入原方程会导致首项 $\lg \left(-\frac{3}{2}\right)$ 内部出现负数而无意义，故舍去。
• 对于 $x_2=2$，满足 $x>0$，为方程的合法实数根。

所以，原方程的解为： $x=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数底数与真数合拢运算法则、一元二次方程十字相乘法、对数定义域的局限性。
2. 核心方法：同底脱对数法、定义域卡位复核法。
3. 避坑指南：

• 最致命扣分雷区（漏掉真数检验）：高达 $40\%$ 的同学在解出 $x=-\frac{3}{2}$ 和 $x=2$ 后，由于缺乏真数非负的复核意识，直接双根并列作答。求解任何关于对数、根式、分式的方程，第一步或最后一步必须严格进行边界防守。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修第一册《对数函数与对数方程》章节中最基础、最核心的课本定理演练题。它是后续高等数学中研究指数增长抑制、信息熵理论以及声学/化学中 PH 值对数多项式级数变换的基本运算工具。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的齐次二次真数对齐退化模型。 可以一般化推广为：对于任意满足形式的对数方程 $2\lg x+\lg a=\lg (x+b)(a>0,b>0)$，其通过对数算子消去后，在复数域内对应的降维代数方程恒守恒为 $a{x}^2-x-b=0$。只要方程判别式 $\Delta =1+4ab>0$ 恒成立，其必然产出一正一负两个实数根。根据真数严格正向控制论，其最终合法解在结构上恒由正向根通项单值唯一统治： $x=\frac{1+\sqrt{1+4ab}}{2a}$ 在本题中， $a=2,b=6$，直接套入此推广模型： $x=\frac{1+\sqrt{1+4\times 2\times 6}}{2\times 2}=\frac{1+\sqrt{49}}{4}=\frac{1+7}{4}=2$。熟知这一对数方程的拓扑退化守恒规律，在处理任何复杂的对数方程化简时，皆可实现免除中间多步推演，瞬时直达真实合法实根。

🔗【关联脉络】

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