1977-河北卷-03 解-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 证明：$\frac{\sin 2\alpha +1}{1+\cos 2\alpha +\sin 2\alpha }=\frac{1}{2}\tan \alpha +\frac{1}{2}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察两端异同：左边是一个含有二倍角 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$ 的分式，右边是关于单角 $\alpha$ 的一阶多项式。证明的核心策略是通过二倍角公式将左边全面降角为单角 $\alpha$。

2. 分子凑配完全平方：分子包含 $\sin 2\alpha +1$。利用二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 以及同角三角平方和 $1={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$，可将其凑配成完全平方式 $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2$。

3. 分母应用倍角降幂法：分母中含有 $1+\cos 2\alpha$，利用余弦二倍角变形公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 可将常数 1 直接消去，转化为 $2{\cos }^2\alpha$，从而便于提取公因式进行因式分解。

4. 消元与化简：分子分母提取公共因式并约分，然后整体除以 $\cos \alpha$ 即可平稳逼近右端目标。

✅【答案】

Success

因为 左式经过严密推导等于右式，所以原等式成立，命题得证

✍【详细解析】

Abstract

证明：

从左端（左式）出发，利用三角恒等变换公式进行逐步化简：

• 第一步：应用二倍角公式展开左式 根据公式： $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 将常数项 $1$ 变形为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$。

代入左式分子与分母中： $\text{左式}=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha +({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )}{1+(2{\cos }^2\alpha -1)+2\sin \alpha \cos \alpha }$

• 第二步：分子、分母的因式分解
• 分子部分按完全平方公式整理： ${\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2$
• 分母部分消去常数 $1$ 和 $-1$ 并提取公因式 $2\cos \alpha$： $2{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha =2\cos \alpha (\cos \alpha +\sin \alpha )$

代回分式中： $\text{左式}=\frac{(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2}{2\cos \alpha (\sin \alpha +\cos \alpha )}$

• 第三步：约分与切弦转换 由于三角函数分式天然要求分母不为零，即 $\sin \alpha +\cos \alpha \ne 0$，约去分子分母的公共因式 $(\sin \alpha +\cos \alpha )$： $\text{左式}=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{2\cos \alpha }$

将分式拆开分项相除： $\text{左式}=\frac{\sin \alpha }{2\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{2\cos \alpha }$ $\text{左式}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{1}{2}$

根据正切函数的定义 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$，代入得： $\text{左式}=\frac{1}{2}\tan \alpha +\frac{1}{2}$

因为 左式经过严密推导等于右式，所以原等式成立，命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式的逆向凑配与正向消常数应用、三角代数式的约分化简。
2. 核心方法：完全平方凑配法、弦化切法。
3. 避坑指南：

• 易错点（分母消 1 公式选错）：余弦二倍角公式有三种表现形式（$2{\cos }^2\alpha -1$、 $1-2{\sin }^2\alpha$、 ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$）。在本题分母中面对 $1+\cos 2\alpha$ 时，必须精准选用 $2{\cos }^2\alpha -1$ 来对冲消去常数 1。若错选了 $1-2{\sin }^2\alpha$，分母会变成 $2-2{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha$，反而使多项式变得更加复杂。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修第二册《三角恒等变换》章节中关于二倍角公式综合化简的标准课后压轴题。它是后续研究微积分中万能置换公式（$t=\tan \frac{\alpha }{2}$）进行有理有理分式积分时最底层的三角降维形貌变换。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的正余弦二倍角齐次因式破局模型。 可以一般化推广为：对于任意非零常数 $\lambda$，在保证分母有意义的前提下，满足下列双层拓扑对称守恒公式： $\frac{\sin 2\alpha +1}{\cos 2\alpha +\sin 2\alpha +1}=\frac{1}{2}\tan \alpha +\frac{1}{2}$ 掌握此项“分子凑完全平方、分母精准消1”的联动直觉，可以在面对任何高考三角函数大题或复数向量交织的超越代数式化简时，实现瞬间破局。

🔗【关联脉络】

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