本题导读
本题考查圆的切线的判定与性质。
📌【题干】
Question
（1977年河北卷） 证明：如图， 是圆 的直径， 是圆 的切线，切点为 ， 平行于弦 . 求证： 是圆 的切线.
🔍【思路分析】
破题导航
- 确立核心目标：要证明 是 的切线，由于点 已经在圆上，根据切线的判定定理，只需要连接半径 ，并证明 ，即证明 。
- 利用已知切线：已知 是 的切线，根据切线的性质定理可得 ，即 。这就为我们提供了一个现成的 角作为过渡。
- 寻找三角形全等：要将 转移到 上，最直接的方法是证明 。
- 这两个三角形有一条公共边 。
- 还有一组半径相等 。
- 此时只需要证明它们的夹角相等，即 。
- 利用平行线转换夹角：
因为 ，根据平行线的性质：
同位角相等：；
内错角相等：。
又因为在 中，（均为半径），所以 。
通过等量代换，成功证出 。
✅【答案】
Success
是圆 的切线
✍【详细解析】
Abstract
证明：
第一步：作辅助线，明确证明目标 连接 。 要证明 是 的切线，只需证明 ，即 。
第二步：利用已知切线确立直角 因为 是 的切线，且 为圆的半径， 所以 ，即：
第三步：利用平行线和等腰三角形转化角度 因为 ， 所以根据平行线的性质可得：
在 中，因为 （均为 的半径）， 所以：
通过等量代换可得：
- 第四步：证明三角形全等，完成最终推导 在 和 中：
所以，。
根据全等三角形的对应角相等：
即 。 由于点 在 上，且 为圆的半径， 所以 是圆 的切线。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：切线的判定定理（若直线经过半径的外端并且垂直于这条半径，则该直线是圆的切线）。
- 核心方法：“连半径，证垂直”的辅助线构造法。
- 避坑指南：
作图雷区：切记在证明开始时一定要写出“连接 ”。如果不连半径，就无法构造出包含 的全等三角形，后面的垂直关系也就无从谈起。
叙述全等理由时，注意边的对应顺序，夹角 和 必须是由半径与公共边所夹的内角。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于初中几何（九年级上册《圆》章节）中最经典、最标准的切线判定定理综合证明题，常作为中考几何证明大题的第一问模型。
- 结论推广: 本题模型属于标准的圆外一点引双切线的对称守恒模型（亦称“平行对角线全等转化模型”）。 可以一般化推广为：从圆 直径 的一端 引切线，与过圆心 且平行于任意弦 的直线交于点 ，则连接 必定恒为该圆的另一条切线。此时，线段 与 长度守恒相等（切线长定理），且 严格平分 ，亦是弦 的垂直平分线。这一轴对称拓扑结构在处理更复杂的圆综合压轴大题时，可以作为定理直接用来进行线段与角度的瞬时平移。
🔗【关联脉络】
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