1977-江苏卷-02 解-抛物线的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点弦性质，求过焦点的直线被抛物线所截的弦长。

📌【题干】

Question

（1977年江苏卷） 过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点作倾斜角为 $\frac{3}{4}\pi$ 的直线，它与抛物线相交于 $A$、 $B$ 两点. 求 $A$、 $B$ 两点间的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定抛物线参数：

• 由 $y^2=4x$，得 $2p=4$，即 $p=2$。
• 焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$，准线为 $x=-1$。

2. 写出直线方程：

• 倾斜角 $\alpha =\frac{3}{4}\pi$，斜率 $k=\tan \frac{3}{4}\pi =-1$。
• 过焦点 $(1,0)$ 的直线： $y=-x+1$。

3. 方法一（联立 + 韦达定理）：直线与抛物线联立，得关于 $x$ 的二次方程，用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 或用定义 $|AB|=x_1+x_2+p$ 求。

4. 方法二（焦点弦长公式）：用 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }$ 直接求。

✅【答案】

Success

$8$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：联立方程与定义转化

• 第一步：确定焦点坐标与直线方程 由 $y^2=4x$，得 $2p=4$，即 $p=2$。 焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$。

直线倾斜角 $\alpha =\frac{3}{4}\pi$，斜率： $k=\tan \left(\frac{3}{4}\pi \right)=-1$

由点斜式，过 $F(1,0)$ 且斜率为 $-1$ 的直线为： $y=-1(x-1)⟹y=1-x$

• 第二步：联立化为一元二次方程 将 $y=1-x$ 代入 $y^2=4x$： $(1-x{)}^2=4x$

展开移项： $1-2x+x^2=4x⟹x^2-6x+1=0$

设交点 $A,B$ 的横坐标为 $x_1,x_2$。$\Delta =(-6{)}^2-4\times 1\times 1=32>0$，方程有两个不同实根。 由韦达定理： $x_1+x_2=6,x_1{x}_2=1$

• 第三步：用定义求弦长 抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线 $x=-1$ 的距离。 焦点弦长： $|AB|=|AF|+|BF|=\left(x_1+\frac{p}{2}\right)+\left(x_2+\frac{p}{2}\right)=x_1+x_2+p$

代入 $x_1+x_2=6$，$p=2$： $|AB|=6+2=8$

---

方法二：焦点弦长公式

• 第一步：写出焦点弦长公式 对开口向右的抛物线 $y^2=2px$，过焦点的直线倾斜角为 $\alpha$（$\alpha \ne 0$）时，焦点弦长： $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }$

• 第二步：代入求值 本题 $2p=4$，$\alpha =\frac{3}{4}\pi$。 $\sin \left(\frac{3}{4}\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹{\sin }^2\left(\frac{3}{4}\pi \right)=\frac{1}{2}$

代入： $|AB|=\frac{4}{\frac{1}{2}}=4\times 2=8$

所以， $A$、 $B$ 两点间的距离为： $8$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线方程的点斜式、抛物线的焦半径定义、焦点弦长的计算。
2. 核心方法：韦达定理法、焦点弦长公式法。
3. 避坑指南：

• 硬算两点坐标：若解 $x^2-6x+1=0$ 得 $x=3\pm 2\sqrt{2}$，再代入求 $y$，最后用两点距离公式，运算量大且易错。求圆锥曲线弦长，宜用韦达定理整体代入，或用定义把弦长转化为横坐标之和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 2 题，考查抛物线的焦点弦长。

2. 结论推广：以焦点 $F$ 为极点时，抛物线 $y^2=2px$ 的极坐标方程为 $\rho =\frac{p}{1-\cos \theta }$；过焦点的弦两端为 $A,B$，有 $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$，焦点弦长 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }$。本题 $p=2$，$\alpha =\frac{3}{4}\pi$，得 $|AB|=8$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

类题演练 (Links)