1977-天津-07 解-定积分的换元积分法

本题导读

本题考查定积分的换元积分法，涉及根式代换与换元后的上下限变换。

📌【题干】

Question

（1977年天津卷） 计算：${\int }_0^4\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}\text{d}x$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定换元方式：被积函数分母含根式 $\sqrt{2x+1}$，用根式代换，设 $t=\sqrt{2x+1}$，化为有理式积分。
2. 换元与换微分：

• 由 $t=\sqrt{2x+1}$ 得 $x=\frac{t^2-1}{2}$；
• 求导得 $\text{d}x=t\text{d}t$。

3. 换积分上下限：

• $x=0$ 对应 $t=\sqrt{2\times 0+1}=1$；
• $x=4$ 对应 $t=\sqrt{2\times 4+1}=3$。

4. 计算积分：代入并化简为幂函数积分，用牛顿-莱布尼茨公式求值。

✅【答案】

Success

$\frac{22}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：换元并求微分关系 设 $t=\sqrt{2x+1}$（$t>0$）。 两边平方： $t^2=2x+1⟹2x=t^2-1⟹x=\frac{t^2-1}{2}$

分子中的 $x+2$ 用 $t$ 表示： $x+2=\frac{t^2-1}{2}+2=\frac{t^2-1+4}{2}=\frac{t^2+3}{2}$

对 $x=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{2}$ 求微分： $\text{d}x=\left(\frac{1}{2}\cdot 2t\right)\text{d}t=t\text{d}t$

• 第二步：变换积分上下限 由 $t=\sqrt{2x+1}$：

• 当 $x=0$ 时， $t=\sqrt{2\times 0+1}=1$；

• 当 $x=4$ 时， $t=\sqrt{2\times 4+1}=\sqrt{9}=3$。

• 第三步：代入并化简 $\text{原式}={\int }_1^3\frac{\frac{t^2+3}{2}}{t}\cdot t\text{d}t$

约去 $t$，并把 $\frac{1}{2}$ 提到积分号外： $\text{原式}=\frac{1}{2}{\int }_1^3(t^2+3)\text{d}t$

• 第四步：求原函数并计算 $\text{原式}=\frac{1}{2}{\left[\frac{1}{3}{t}^3+3t\right]}_1^3$

代入上下限：

• 上限 3： $\frac{1}{3}\times 3^3+3\times 3=9+9=18$
• 下限 1： $\frac{1}{3}\times 1^3+3\times 1=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$

作差： $\text{原式}=\frac{1}{2}\left(18-\frac{10}{3}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{54-10}{3}=\frac{1}{2}\times \frac{44}{3}=\frac{22}{3}$

所以，定积分的值为： $\frac{22}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分的根式换元、换元后上下限的同步变换、牛顿-莱布尼茨公式。
2. 核心方法：换元积分法。
3. 避坑指南：

• 换元后忘换上下限：换元后积分上下限要按 $t=\sqrt{2x+1}$ 从 $0,4$ 换成 $1,3$，不能仍写 $0$ 和 $4$。

• 不需代回原变量：定积分换限后直接代入新上、下限即可，不必把 $t$ 还原成 $\sqrt{2x+1}$ 再代入 0 和 4。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 7 题，考查定积分的根式换元积分法。

2. 结论推广：对 $I={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{px+q}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x(a>0)$，令 $t=\sqrt{ax+b}$，则 $x=\frac{t^2-b}{a}$，$\text{d}x=\frac{2t}{a}\text{d}t$，得 $I=\frac{2}{a}{\left[\frac{p}{3a}{t}^3+\left(q-\frac{pb}{a}\right)t\right]}_{t_1}^{t_2}$，其中 $t_1=\sqrt{a\alpha +b}$，$t_2=\sqrt{a\beta +b}$。本题 $p=1,q=2,a=2,b=1$，$t_1=1,t_2=3$，代入得 $\frac{22}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理

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