1977-天津-05 解-二元一次方程组的解法

本题导读

本题考查二元一次方程组的解法。

📌【题干】

Question

（1977年天津卷） (1) 求直线 $3x-2y+1=0$ 和 $x+3y+4=0$ 的交点坐标. (2) 求通过上述交点，并同直线 $x+3y+4=0$ 垂直的直线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析第(1)问（联立求交点）：

• 几何上两直线的交点在代数上对应于它们方程组的公共解。
• 联立两个二元一次方程，运用加减消元法（如将第二个方程乘以 3 后与第一个方程相减）消去变量 $x$，平稳解出 $y$ 与 $x$ 的精确坐标值。

2. 分析第(2)问（重构垂直直线）：

• 核心特征一（点）：新直线通过第(1)问求出的交点坐标。

• 核心特征二（斜率）：新直线与已知直线 $l_2:x+3y+4=0$ 垂直。已知直线的斜率 $k_2=-\frac{1}{3}$。根据两非垂直直线相互垂直的充要条件 $k\cdot k_2=-1$，直接反解出目标直线的斜率 $k=3$。

• 合拢方程：利用直线的点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 展开并化为标准的一般式形态。

✅【答案】

Success

$3x-y+2=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求直线 $3x-2y+1=0$ 和 $x+3y+4=0$ 的交点坐标

• 第一步：联立两直线方程构建二元一次方程组 $\{\begin{array}{ll}3x-2y+1=0& \text{(1)}\\ x+3y+4=0& \text{(2)}\end{array}$

• 第二步：运用加减消元法消去自变量 $x$ 将方程 ② 的两端同时乘以 3，得： $3x+9y+12=0\text{(3)}$

用方程 ③ 减去方程 ①，消去相同项 $3x$： $(3x+9y+12)-(3x-2y+1)=0$ $11y+11=0⟹11y=-11$

解得因变量坐标： $y=-1$

• 第三步：将 $y$ 值代回方程，求出横坐标 $x$ 将 $y=-1$ 代入方程 ② 中： $x+3\times (-1)+4=0$ $x-3+4=0⟹x+1=0$

解得： $x=-1$

所以，两直线的交点坐标为： $(-1,-1)$

---

(2) 求通过上述交点，并同直线 $x+3y+4=0$ 垂直的直线方程

• 第一步：求解已知直线的特征斜率 将已知直线 $x+3y+4=0$ 移项化为斜截式形态： $3y=-x-4⟹y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$

由此可知，该直线的斜率为： $k_2=-\frac{1}{3}$

• 第二步：根据垂直不变量定理确定目标直线的斜率 设所求目标直线的斜率为 $k$。因为两直线严格垂直，其斜率乘积满足负倒数法则： $k\cdot k_2=-1⟹k\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-1$

解得目标直线的几何斜率： $k=3$

• 第三步：应用点斜式方程重构目标直线 已知目标直线通过交点 $(-1,-1)$，且斜率 $k=3$。调用点斜式公式 $y-y_0=k(x-x_0)$： $y-(-1)=3[x-(-1)]$ $y+1=3(x+1)$

• 第四步：展开并化简为解析几何标准一般式方程 $y+1=3x+3$

将所有项移项合并至等式同一端，保持 $x$ 轴系数为正数： $3x-y+2=0$

所以，所求的直线方程为： $3x-y+2=0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次方程组的加减消元消项、垂直直线斜率的负倒数映射（ $k_1{k}_2=-1$ ）、点斜式向一般式的等价恒等变形。
2. 核心方法：加减消元法、点斜式构建法。
3. 避坑指南：

• 高频正负号及乘法移项雷区：在求解垂直斜率时，已知斜率是 $-\frac{1}{3}$，很多同学在计算负倒数时容易漏掉负号，错算成 $k=-3$ 或 $k=\frac{1}{3}$。牢记：两直线垂直，斜率不仅要变倒数，更要“改变符号”。

• 交点坐标书写不规范：第(1)问求的是“交点坐标”，必须规范用括号包裹书写成点对形态 (-1, -1)，不能只写 $x=-1,y=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学选择性必修第一册《直线与方程》章节中关于两直线交点、两直线位置关系（平行与垂直）最经典、最纯正的教材主干必考母题。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的低阶仿射空间直线束垂直共轭模型。 可以一般化推广为：在全域解析几何中，对于已知直线 $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 与 $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$，若要重构一条通过其交点且与第二条直线严格垂直的全新直线，在代数上除了通过分步求解交点外，还可以直接调用高等数学中的**直线束方程（Pencil of lines）**进行无交元。 由于与直线 $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ 垂直的直线系必然具有拓扑形貌 $B_{2}x-A_{2}y+\lambda =0$。直接将本题中已知直线 $x+3y+4=0$ 的系数对调并变号，瞬间得到垂直直线系的左端算子形态： $3x-1y+\lambda =0$ 再将第(1)问求得的交点坐标 $(-1,-1)$ 整体灌入该系中以定出常数截距 $\lambda$： $3\times (-1)-(-1)+\lambda =0⟹-3+1+\lambda =0⟹\lambda =2$ 代回系统，无需任何点斜式展开与分式通分，一秒直接直达标准一般式方程底牌： $3x-y+2=0$。熟练掌握这一由空间群共轭带来的直线束拓扑本质，能让学生在后续面对高频的高考、竞赛级复杂的含参直线系恒过定点讨论、解析几何中双曲线渐近线正交轨迹，以及大学高等数学中微积分的梯度（Gradient）与等高线正交截线群（正交轨迹族）的求解时，实现降维打击。

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