1977-天津-03 解-一元二次方程根的判别式

本题导读

本题考查一元二次方程根的判别式，以及等差中项与根的判别式的联系。

📌【题干】

Question

（1977年天津卷） 如果已知 $b{x}^2-4bx+2(a+c)=0(b\ne 0)$ 有两个相等的实数根，求证：$a$，$b$，$c$ 成等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确目标：要证 $a,b,c$ 成等差数列，只需证 $2b=a+c$。
2. 用判别式建立等式：

• 方程 $b{x}^2-4bx+2(a+c)=0$ 二次项系数 $b\ne 0$。
• “有两个相等的实数根”即判别式 $\Delta =0$。

3. 化简：展开判别式，消去非零公因子，移项得 $2b=a+c$，命题得证。

✅【答案】

Success

原命题得证

✍【详细解析】

Abstract

证明：

• 第一步：写出系数，应用判别式 方程为： $b{x}^2-4bx+2(a+c)=0$

其中：

• 二次项系数： $A=b(b\ne 0)$
• 一次项系数： $B=-4b$
• 常数项： $C=2(a+c)$

因为方程有两个相等的实数根，判别式等于零： $\Delta =B^2-4AC=0$

• 第二步：代入系数展开 $\Delta =(-4b{)}^2-4\times b\times [2(a+c)]=0$ $16b^2-8b(a+c)=0$

• 第三步：消去非零公因式 两边同除以 8： $2b^2-b(a+c)=0$

提取公因式 $b$： $b[2b-(a+c)]=0$

因为 $b\ne 0$，两边同除以 $b$： $2b-(a+c)=0$

• 第四步：移项得出结论 $2b=a+c$

由等差中项的定义，中间项的 2 倍等于两端项之和，故 $a,b,c$ 依次成等差数列。

原命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次方程判别式 $\Delta =b^2-4ac=0$、等差中项 $2b=a+c$。
2. 核心方法：判别式化简法、等差中项判定法。
3. 避坑指南：

• 系数代入出错：常数项是 $2(a+c)$，代入 $4AC$ 时别漏掉系数 2，否则会错得 $16b^2-4b(a+c)=0$，即 $4b=a+c$。

• 消元逻辑不严密：从 $b[2b-(a+c)]=0$ 到下一步，须说明”因为 $b\ne 0$“，否则逻辑不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 3 题，考查一元二次方程判别式与等差数列的综合应用。

2. 结论推广：一般地，方程 $b{x}^2-2kbx+m(a+c)=0(b\ne 0)$ 有重根时，由 $\Delta =0$ 得 $k^{2}b=m(a+c)$。本题 $k=2,m=2$，得 $4b=2(a+c)$，即 $2b=a+c$。类似地，若方程改为 $b{x}^2-2bx+\sqrt{ac}=0$ 且 $b\ne 0$ 有重根，则可得 $b^2=ac$，此时 $a,b,c$ 成等比数列。

🔗【关联脉络】

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