1977-北京理-11 解-分段函数的导数

本题导读

本题考查分段函数的导数。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 附加题 11. (1)求函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{\pi }{x},& (x\ne 0)\\ 0,& (x=0)\end{array}$ 的导数. (2)求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分段函数求导策略：

• 对于 $x\ne 0$ 的非零域：函数解析式明确，直接使用导数的乘积法则与复合函数求导法则（链式法则）进行代数求导。
• 对于 $x=0$ 的奇异点：由于该点属于分段交界点，且包含超越震荡因子 $\sin \frac{\pi }{x}$，导数基本初等法则在此失效。必须回归到导数的最初代数本质——导数的定义极限法 $f^{\prime }(0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}$，利用夹逼定理判定该点导数是否存在并求出精确值。

2. 第二问旋转体体积计算策略：

• 确定积分边界与切片截面：椭圆在 $x$ 轴上的投影区间为 $[-a,a]$。

• 截面微元法：在垂直于 $x$ 轴的任意位置 $x$ 处切下一个厚度为 $\text{d}x$ 的薄圆片，该圆片的半径即为该位置椭圆曲线的纵坐标高度 $|y|$。

• 构造定积分方程：微元圆片的体积为 $\text{d}V=\pi y^2\text{d}x$。将椭圆方程中的 $y^2$ 用 $x$ 显性表达出来，代入公式 $V={\int }_{-a}^a\pi y^2\text{d}x$ 求解定积分。利用偶函数的对称性可化简为 $2{\int }_0^a$ 控速计算。

✅【答案】

Success

该椭圆绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积为 $\frac{4}{3}\pi a{b}^2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)求函数 $f(x)$ 的导数

因为 函数 $f(x)$ 是一个分段函数，所以需要对 $x\ne 0$ 与 $x=0$ 两个区间域分别进行求导讨论：

• ① 当 $x\ne 0$ 时： 直接利用导数的乘积法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 与复合函数求导法则对解析式进行常规求导： $f^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }\cdot \sin \frac{\pi }{x}+x^2\cdot {\left(\sin \frac{\pi }{x}\right)}^{\prime }$ $f^{\prime }(x)=2x\sin \frac{\pi }{x}+x^2\cdot \cos \frac{\pi }{x}\cdot {\left(\frac{\pi }{x}\right)}^{\prime }$ $f^{\prime }(x)=2x\sin \frac{\pi }{x}+x^2\cdot \cos \frac{\pi }{x}\cdot \left(-\frac{\pi }{x^2}\right)$ 化简得： $f^{\prime }(x)=2x\sin \frac{\pi }{x}-\pi \cos \frac{\pi }{x}$

• ② 当 $x=0$ 时： 必须使用导数的定义式来计算该特定孤立点的导数值： $f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ 将定义值 $f(0)=0$ 以及 $x\ne 0$ 时的表达式代入上式极限中： $f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{x^2\sin \frac{\pi }{x}-0}{x}={\lim }_{x\to 0}\left(x\sin \frac{\pi }{x}\right)$ 因为 当 $x\to 0$ 时， $x$ 为无穷小量；而正弦因子满足 $\left|\sin \frac{\pi }{x}\right|\le 1$，属于标准的有界函数。 根据高等数学极限基本定理（无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量），可得： $f^{\prime }(0)=0$

综合上述①与②的讨论结果，最终所得导函数 $f^{\prime }(x)$ 的完整分段表达式为： $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2x\sin \frac{\pi }{x}-\pi \cos \frac{\pi }{x},& (x\ne 0)\\ 0,& (x=0)\end{array}$

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(2)求椭圆绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积

首先，由椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求得 $y^2$ 关于自变量 $x$ 的代数函数表达式： $\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}⟹y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$

椭圆关于 $y$ 轴左右对称，其在 $x$ 轴上的实际几何分布范围为 $[-a,a]$。 根据定积分的几何应用，旋转体（此时为椭球体）的体积公式为： $V={\int }_{-a}^a\pi y^2\text{d}x$

将 $y^2$ 的表达式代入积分方程，并利用被积函数的偶函数对称性，将积分下限调整为 0： $V={\int }_{-a}^a\pi b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\text{d}x=2\pi b^2{\int }_0^a\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\text{d}x$

对括号内多项式逐项求出其原函数： $V=2\pi b^2{\left[x-\frac{x^3}{3a^2}\right]}_0^a$

代入上限 $a$ 与下限 0 进行数值牛顿-莱布尼茨公式计算： $V=2\pi b^2\left(a-\frac{a^3}{3a^2}-0\right)$ $V=2\pi b^2\left(a-\frac{1}{3}a\right)=2\pi b^2\cdot \frac{2}{3}a$ $V=\frac{4}{3}\pi a{b}^2$

所以，该椭圆绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积为 $\frac{4}{3}\pi a{b}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数特殊连接点必须使用定义求导法则、旋转体微元法（$\text{d}V=\pi y^2\text{d}x$）定积分运算。
2. 核心方法：极限夹逼法、定积分牛顿-莱布尼茨公式法。
3. 避坑指南：

• 第一问致命雷区：很多同学一看到分段函数，就简单地把非零域求出的导数式中直接带入 $x=0$，写出 $f^{\prime }(0)=2(0)\sin \infty -\pi \cos \infty$，发现极限根本不存在或发生严重错误。切记：分段函数在分段点处的导数，有且仅能通过导数的极限定义法来求！

• 第二问注意看清是绕“ $x$ 轴”还是绕“ $y$ 轴”旋转。绕 $x$ 轴旋转时积分微元是 $\pi y^2\text{d}x$，如果绕 $y$ 轴旋转则公式变为 $\pi x^2\text{d}y$，方向搞错会导致结果母数对调。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于经典高等微积分（数学分析）中关于导数连续性反例以及定积分几何应用的标准传统模型。第(1)问中的 $f(x)$ 是一类极著名的导数应用反例——处处可导但导函数不连续的函数模型（因为当 $x\to 0$ 时， $f^{\prime }(x)$ 中的 $\cos \frac{\pi }{x}$ 项在 $[-1,1]$ 上剧烈震荡，导致 ${\lim }_{x\to 0}{f}^{\prime }(x)$ 极限不存在，即 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续）。
2. 结论推广: 第(2)问导出的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi a{b}^2$ 是标准的旋转椭球体体积通用公式。 当特殊情况 $a=b=R$ 时，椭圆完美退化退化为标准的正圆（ $x^2+y^2=R^2$ ），将其代入该推广公式： $V=\frac{4}{3}\pi R\cdot R^2=\frac{4}{3}\pi R^3$ 这恰好就是我们在初高中几何中直接使用的标准完美球体体积公式。通过本题的定积分推导，在底层逻辑上完美证明了球体体积公式的代数来源。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理

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