1977-北京理-06 解-等比数列的通项公式

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 某工厂今年七月份的产值为 100 万元，以后每月产值比上月增加 20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别数学模型：

• 七月份产值为 100 万元。
• 八月份产值为 $100\times (1+20\%)=100\times 1.2$ 万元。
• 九月份产值为 $100\times 1.2\times 1.2=100\times 1.2^2$ 万元。
• 每一个月的产值均在前一个月的基础上乘以一个固定的常数 $1.2$，因此各月产值构成一个标准的等比数列。

2. 提取核心基本量：

• 首项（七月份产值）: $a_1=100$。
• 公比（月增长倍数）: $q=1+20\%=1.2$。
• 项数（七月到十月包含的月份数）: 七、八、九、十共 4 个月，即 $n=4$。

3. 选择计算策略：

• 方案一（分项直接相加）：由于项数 $n=4$ 较小，可以直接算出八、九、十月份的数值，进行四则加法运算。

• 方案二（公式法）：套用等比数列前 $n$ 项和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 进行综合化简。

✅【答案】

Success

答：今年七月份到十月份总产值是 536.8 万元

✍【详细解析】

Abstract

方法一：分项累加法（针对项数较少时最不易错）

根据题意，依次列出各月份的产值：

• 七月份产值： $a_1=100\text{ (万元)}$
• 八月份产值： $a_2=100\times (1+20\%)=100\times 1.2=120\text{ (万元)}$
• 九月份产值： $a_3=120\times 1.2=144\text{ (万元)}$
• 十月份产值： $a_4=144\times 1.2=172.8\text{ (万元)}$

今年七月份到十月份的总产值 $S_4$ 为这 4 个月产值的代数和： $S_4=a_1+a_2+a_3+a_4$ $S_4=100+120+144+172.8$ $S_4=536.8\text{ (万元)}$

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方法二：等比数列求和公式法

各月的产值构成以 $a_1=100$ 为首项， $q=1.2$ 为公比的等比数列。 从七月份到十月份共有 4 个月，即求该数列的前 4 项和 $S_4$。

由等比数列前 $n$ 项和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 代入数据得： $S_4=\frac{100\times (1-1.2^4)}{1-1.2}=\frac{100\times (1.2^4-1)}{1.2-1}$

首先计算 $1.2^4$ 的值： $1.2^2=1.44⟹1.2^4=1.44\times 1.44=2.0736$

代入求和控制式中： $S_4=\frac{100\times (2.0736-1)}{0.2}=\frac{100\times 1.0736}{0.2}$ $S_4=\frac{107.36}{0.2}=536.8\text{ (万元)}$

答：今年七月份到十月份总产值是 536.8 万元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：产值复合增长率与等比数列的映射关系、等比数列前 $n$ 项和的计算。
2. 核心方法：模型构造法、公式法/穷举累加法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（项数算错）：数月份时容易想当然地用 $10-7=3$，误认为只有 3 个月（项数 $n=3$），从而漏掉七月份或十月份本身。计算包含两端点的整数个数应当使用 $10-7+1=4$。

• 小数乘法计算时需严谨，特别是在计算 $1.44\times 1.44$ 时，注意小数点后保留四位有效数字，避免因粗心导致最后一位数算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学关于等比数列应用题的核心主干必做教材题。它对应着经济学与财务管理中经典的复利终值与年金累加模型，是当今高考概率统计与数列交汇应用大题的早期鼻祖。
2. 结论推广: 本题可推广至通项的固定复利增长总额模型：若初始基期产值为 $A$，此后每期比上期增加增长率 $r$，则从第 1 期到第 $n$ 期的总产值通项公式为： $S_n=\frac{A[(1+r{)}^n-1]}{r}$ 在本题中， $A=100,r=0.2,n=4$，代入直接得到 $S_4=\frac{100\times (1.2^4-1)}{0.2}=500\times 1.0736=536.8$。掌握该通项公式，可在处理高次复杂月份（如求 24 个月的总产值）时实现免去分项穷举，一式直接破题。

🔗【关联脉络】

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• 09.02 等比数列

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