1977-北京理-01 解-无理方程的解法

本题导读

本题考查无理方程的解法。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 解方程: $\sqrt{x-1}=3-x$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 同解变形分析：方程左端为算术平方根，恒满足 $\sqrt{x-1}\ge 0$，因此右端必须满足 $3-x\ge 0$，即 $x\le 3$。同时根号内需有意义，即 $x-1\ge 0⟹x\ge 1$。

2. 两边平方去根号：在约束条件 $1\le x\le 3$ 下，两边平方转化为一元二次方程。

3. 求解与化简：解一元二次方程得到两个实数根，根据约束条件进行筛选（或代入原方程验根），剔除增根。

✅【答案】

Success

舍去 $x=5$，原方程的解为 $x=2$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接平方法（带验根）

原方程为： $\sqrt{x-1}=3-x$

两边平方，得： $x-1=(3-x{)}^2$

展开右端多项式： $x-1=9-6x+x^2$

移项、合并同类项整理成一元二次方程的标准形式： $x^2-7x+10=0$

利用十字相乘法进行因式分解： $(x-2)(x-5)=0$

解得： $x_1=2,x_2=5$

验根：

• 当 $x=2$ 时，左端 $=\sqrt{2-1}=1$，右端 $=3-2=1$，左端 $=$ 右端，故 $x=2$ 是原方程的解。
• 当 $x=5$ 时，左端 $=\sqrt{5-1}=2$，右端 $=3-5=-2$，左端 $\ne$ 右端，故 $x=5$ 是增根，舍去。

所以，原方程的解为： $x=2$

---

方法二：同解代数卡位法（免验根）

原方程等价于下列不等式方程组： $\{\begin{array}{l}x-1=(3-x{)}^2\\ 3-x\ge 0\end{array}$

解不等式得 $x\le 3$。 由第一步展开化简得 $x^2-7x+10=0⟹x=2$ 或 $x=5$。 因为 $5\le 3$ 不成立， $2\le 3$ 成立， 所以 舍去 $x=5$，原方程的解为 $x=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无理方程转化为有理方程的方法、二次方程的因式分解。
2. 核心方法：两边平方法、同解条件限制法。
3. 避坑指南：

• 最易错点：平方时极易忘记平方根的非负性限制，解出 $x=2$ 和 $x=5$ 后直接作为答案上交，导致因“增根未舍”而扣分。无理方程两边平方后，必须进行验根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于初等代数中关于无理方程求解的经典教材基础题。在高等数学中，该模型对应于两曲线的交点问题。函数 $y=\sqrt{x-1}$ 表现为顶点在 $(1,0)$ 且开口向右的抛物线上半支， $y=3-x$ 是一条下斜直线。两曲线在平面直角坐标系中仅有唯一的交点 $(2,1)$。
2. 结论推广: 本题可推广至通项无理方程模型： $\sqrt{x-x_0}=k(x_0+d-x)(k>0)$。 其同解变形的控制核心为引入约束条件 $x\le x_0+d$ 且 $x\ge x_0$。该模型在几何上对应着标准上半抛物线与旋转直线系在第一象限内的单交点卡位分布。

🔗【关联脉络】

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• 05.01 函数的概念

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