1977-上海理-10 解-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及用定积分求曲线与直线所围图形的面积。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 已知曲线 $y=x^2-2x+3$ 与直线 $y=x+3$ 相交于点 $P(0,3)$、 $Q(3,6)$ 两点. (1) 分别求出曲线在交点的切线斜率； (2) 求出曲线与直线所围成的图形的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求切线斜率（第1问）：由导数的几何意义，函数在某点的导数值即该点切线的斜率。先求导得 $y^{\prime }$，再把交点 $P,Q$ 的横坐标代入。

2. 确定积分上下限（第2问）：由交点 $P(0,3)$、$Q(3,6)$ 得积分区间为 $[0,3]$。

3. 建立被积函数：在 $[0,3]$ 上，直线 $y=x+3$ 在抛物线 $y=x^2-2x+3$ 的上方，面积为 ${\int }_0^3\left[(x+3)-(x^2-2x+3)\right]\text{d}x$。

4. 计算积分：合并同类项，用牛顿-莱布尼茨公式求值。

✅【答案】

Success

曲线与直线所围成图形的面积为 $\frac{9}{2}$ （或 $4.5$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 分别求出曲线在交点的切线斜率

• 第一步：求导函数 曲线方程为： $y=x^2-2x+3$

求导得： $y^{\prime }=2x-2$

• 第二步：代入交点横坐标求斜率

• 交点 $P(0,3)$，横坐标 $x_1=0$： $k_1=y^{\prime }{|}_{x=0}=2\times 0-2=-2$

• 交点 $Q(3,6)$，横坐标 $x_2=3$： $k_2=y^{\prime }{|}_{x=3}=2\times 3-2=4$

所以，曲线在交点 $P,Q$ 处的切线斜率分别为 $-2$ 和 $4$.

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(2) 求出曲线与直线所围成的图形的面积

• 第一步：确定上、下函数，写出被积函数 在 $[0,3]$ 上，直线 $y=x+3$ 在抛物线 $y=x^2-2x+3$ 的上方。 所围图形的面积为上、下两函数之差的定积分： $S={\int }_0^3\left[(x+3)-(x^2-2x+3)\right]\text{d}x$

合并同类项： $S={\int }_0^3\left(x+3-x^2+2x-3\right)\text{d}x={\int }_0^3\left(3x-x^2\right)\text{d}x$

• 第二步：求原函数，用牛顿-莱布尼茨公式计算 $S={\left[\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3$

代入上下限： $S=\left(\frac{3}{2}\times 3^2-\frac{1}{3}\times 3^3\right)-(0-0)$ $S=\left(\frac{27}{2}-\frac{27}{3}\right)=\frac{27}{2}-9=\frac{27-18}{2}=\frac{9}{2}$

所以，曲线与直线所围成图形的面积为 $\frac{9}{2}$ （或 $4.5$）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式函数求导、微积分基本定理、曲边梯形面积的计算。
2. 核心方法：导数运算法、定积分公式法。
3. 避坑指南：

• 被积函数写反：构建定积分时，应用”上函数减去下函数”。若用抛物线减直线，会算出负值 $-\frac{9}{2}$。几何面积应为正数。

• 原函数系数出错：对 $3x-x^2$ 求原函数时，注意 $3x$ 的原函数是 $\frac{3}{2}{x}^2$，别漏掉分母 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 10 题，考查导数几何意义与定积分求面积。

2. 结论推广：对抛物线 $y=A{x}^2+Bx+C$（$A>0$），它与一条斜割线交于横坐标 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）两点，所围成封闭图形的面积为 $S=\frac{A}{6}(x_2-x_1{)}^3$。本题 $A=1$，$x_1=0,x_2=3$，得 $S=\frac{1}{6}(3-0{)}^3=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理

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