1977-上海理-09 解-动态几何与最值问题

本题导读

本题考查动态几何中的面积最值问题，涉及余弦定理、等边三角形面积公式与辅助角公式。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 如图所示，半圆 $O$ 的直径为 2，$A$ 为半圆直径延长线上的一个点，且 $OA=2$，$B$ 为半圆上任一点，以 $AB$ 为边作等边 $△ABC$，问 $B$ 在什么地方时，四边形 $OACB$ 的面积最大？并求出这个面积的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设角为自变量：

• 点 $B$ 在半圆上，$OB=1$，$OA=2$。
• 设 $\angle AOB=\theta$，则 $0\le \theta \le \pi$。

2. 拆分四边形面积： $S_{OACB}=S_{△OAB}+S_{△ABC}$
3. 分别求两个三角形面积：

• $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \theta =\sin \theta$。
• 等边 $△ABC$ 的面积为 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^2$，由余弦定理 $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2OA\cdot OB\cos \theta =5-4\cos \theta$。

4. 合并用辅助角公式求最值：合并得 $S=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta +\frac{5\sqrt{3}}{4}$，用辅助角公式 $A\sin \theta +B\cos \theta =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\varphi )$ 求最大值及对应角。

✅【答案】

Success

当动点 $B$ 位于满足 $\angle AOB=150^{\circ }$ （或 $\frac{5\pi }{6}$ ）的半圆弧位置时，四边形 $OACB$ 的面积最大，最大值为 $2+\frac{5\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：设角，求 $△OAB$ 的面积 半圆直径为 2，故半径 $OB=1$，又 $OA=2$。 设 $\angle AOB=\theta (0\le \theta \le \pi )$。

由三角形面积公式： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \theta =\frac{1}{2}\times 2\times 1\times \sin \theta =\sin \theta$

• 第二步：用余弦定理求等边 $△ABC$ 的面积 在 $△OAB$ 中，由余弦定理： $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2OA\cdot OB\cdot \cos \theta$ 代入 $OA=2,OB=1$： $A{B}^2=2^2+1^2-2\times 2\times 1\times \cos \theta =5-4\cos \theta$

$△ABC$ 是以 $AB$ 为边的等边三角形，由正三角形面积公式： $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(5-4\cos \theta )=\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}\cos \theta$

• 第三步：合并得面积函数 $S=S_{△OAB}+S_{△ABC}=\sin \theta +\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}\cos \theta \right)$ $S=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta +\frac{5\sqrt{3}}{4}$

• 第四步：用辅助角公式求最值 对 $\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$，因 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$： $\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =2\left(\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$

于是： $S=2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)+\frac{5\sqrt{3}}{4}$

当 $\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时，$S$ 取最大值，此时： $\theta -\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}⟹\theta =\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}(150^{\circ })$

$\frac{5\pi }{6}\in [0,\pi ]$，符合题意。 最大值为： $S_{\text{max}}=2\times 1+\frac{5\sqrt{3}}{4}=2+\frac{5\sqrt{3}}{4}$

• 第五步：说明点 $B$ 的位置 当 $\angle AOB=150^{\circ }$ 时（即 $OB$ 与 $OA$ 的夹角为 $150^{\circ }$ 时），面积最大。

所以，当动点 $B$ 位于满足 $\angle AOB=150^{\circ }$ （或 $\frac{5\pi }{6}$ ）的半圆弧位置时，四边形 $OACB$ 的面积最大，最大值为 $2+\frac{5\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不规则图形的面积拆分、以角为自变量的函数建模、辅助角公式求最值。
2. 核心方法：三角函数建模法。
3. 避坑指南：

• 误认为 $\theta =90^{\circ }$ 时面积最大：总面积由 $△OAB$ 和等边 $△ABC$ 两部分共同决定。$\theta =90^{\circ }$ 时 $△OAB$ 的面积最大，但等边 $△ABC$ 的面积并未同时最大。由辅助角公式可得，$\theta =150^{\circ }$ 时两者之和才取到最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 9 题，考查解三角形、等边三角形面积与三角函数最值的综合应用。

2. 结论推广：把面积表示成 $S(\theta )=A\sin \theta +B\cos \theta +C$ 后，可用辅助角公式化为 $\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\varphi )+C$，最大值为 $\sqrt{A^2+B^2}+C$。本题 $A=1,B=-\sqrt{3},C=\frac{5\sqrt{3}}{4}$，得 $S_{\max }=2+\frac{5\sqrt{3}}{4}$。

🔗【关联脉络】

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