1977-上海理-06 解-求动点的轨迹方程

本题导读

本题考查求动点的轨迹方程，以及椭圆标准方程的化简与曲线类型的判断。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 已知两定点 $A(-4,0)$、$B(4,0)$，一动点 $P(x,y)$ 与两定点 $A$、$B$ 的连线 $PA$、$PB$ 的斜率的乘积为 $-\frac{1}{4}$. 求点 $P$ 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出斜率：

• 设动点为 $P(x,y)$。
• 由两点斜率公式 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，得 $k_{PA}=\frac{y}{x+4}$，$k_{PB}=\frac{y}{x-4}$。
• 注意斜率存在要求分母不为零，即 $x\ne \pm 4$。

2. 列出方程：由 $k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{1}{4}$ 得 $\frac{y}{x+4}\cdot \frac{y}{x-4}=-\frac{1}{4}$。

3. 化简为标准方程：去分母、移项、两边除以 16，得椭圆标准方程，并判断曲线类型。

✅【答案】

Success

该曲线是以 $(-4,0)$ 和 $(4,0)$ 为长轴两端点（且刨除这两个端点）的椭圆

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：写出 $PA$、$PB$ 的斜率 已知定点 $A(-4,0),B(4,0)$，动点为 $P(x,y)$。 由斜率公式： $k_{PA}=\frac{y-0}{x-(-4)}=\frac{y}{x+4}(\text{此时 }x\ne -4)$ $k_{PB}=\frac{y-0}{x-4}=\frac{y}{x-4}(\text{此时 }x\ne 4)$

• 第二步：列出轨迹方程 因为 $PA$ 与 $PB$ 的斜率乘积为 $-\frac{1}{4}$，得： $\frac{y}{x+4}\cdot \frac{y}{x-4}=-\frac{1}{4}$

分子相乘，分母用平方差公式展开： $\frac{y^2}{x^2-16}=-\frac{1}{4}$

• 第三步：化简为标准方程 去分母： $4y^2=-(x^2-16)$ $4y^2=-x^2+16$

移项： $x^2+4y^2=16$

两边除以 16： $\frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1⟹\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

• 第四步：标明边界并判断曲线类型 由于建立斜率时要求分母不为零，故 $x\ne \pm 4$。

方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 是中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的椭圆的标准方程。

所以，点 $P$ 的轨迹方程（标准方程）为： $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1(x\ne \pm 4)$ 该曲线是以 $(-4,0)$ 和 $(4,0)$ 为长轴两端点（且去掉这两个端点）的椭圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：用直译法求动点轨迹、椭圆标准方程、去掉分母为零的点。
2. 核心方法：坐标代入法。
3. 避坑指南：

• 漏掉 $x\ne \pm 4$：题目中出现”斜率”，就隐含倾斜角不能为 $90^{\circ }$（分母不能为 0）。当 $x=\pm 4$ 时，$P$ 落在长轴端点 $A$ 或 $B$ 上，$PA$ 或 $PB$ 垂直于 $x$ 轴，斜率不存在，不满足斜率乘积条件。不写此边界条件会失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 6 题，考查用斜率关系求动点轨迹方程，以及椭圆标准方程的化简。

2. 结论推广：中心在原点、长轴（或实轴）在 $x$ 轴上的圆锥曲线，其上动点 $P(x,y)$ 与两端点 $(-a,0),(a,0)$ 连线的斜率乘积为常数：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 满足 $k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$；双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 满足 $k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{b^2}{a^2}$。本题乘积为 $-\frac{1}{4}$，故为椭圆，由 $-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}$ 且 $a=4$，得 $b^2=4$，标准方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。

🔗【关联脉络】

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