1977-上海理-05 解-一元二次不等式组的解法

本题导读

本题考查一元二次不等式组的解法，以及解集在数轴上的表示。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 解不等式式：$\{\begin{array}{l}16-x^2\ge 0\\ x^2-x-6>0\end{array}$，并在数轴上把它的解表示出来.

🔍【思路分析】

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1. 分别解两个不等式：

• 不等式① $16-x^2\ge 0$：两端乘 $-1$ 变号得 $x^2-16\le 0$，用平方差公式分解，得闭区间。
• 不等式② $x^2-x-6>0$：十字相乘分解，由二次函数图象得两个开区间。

2. 数轴取交集：把两个解集画在同一条数轴上，取公共部分。

3. 注意端点：含等号画实心点，不含等号画空心点。

✅【答案】

Success

\{x \;\middle|\; -4 \le x < -2 \text{ 或 } 3 < x \le 4\} \quad \left(\text{或用区间表示为：} [-4, -2) \cup (3, 4]\right)

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：解不等式 $16-x^2\ge 0$ 两端同时乘以 $-1$，不等号方向改变： $x^2-16\le 0$

用平方差公式分解： $(x-4)(x+4)\le 0$

由二次函数图象，小于取中间，得： $-4\le x\le 4\text{(1)}$

• 第二步：解不等式 $x^2-x-6>0$ 十字相乘分解： $(x-3)(x+2)>0$

由二次函数图象，大于取两边，得： $x<-2\text{或}x>3\text{(2)}$

• 第三步：在数轴上取交集 在数轴上画出两个解集：
• ① 在 $-4$（实心点）与 $4$（实心点）之间；
• ② 在 $-2$（空心点）向左，以及 $3$（空心点）向右。

取公共部分： $-4\le x<-2\text{或}3<x\le 4$

所以，原不等式组的解集为： \{x \;\middle|\; -4 \le x < -2 \text{ 或 } 3 < x \le 4\} \quad \left(\text{或用区间表示为：} [-4, -2) \cup (3, 4]\right)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次多项式的因式分解、不等号变号法则、在数轴上求交集。
2. 核心方法：数轴法。
3. 避坑指南：

• 端点实心与空心：$-4$ 和 $4$ 带等号，画实心点；$-2$ 和 $3$ 不带等号，画空心点。

• 变号漏步：解 $16-x^2\ge 0$ 时，若直接开方容易漏掉负半轴的部分。先把二次项系数化为正数，再分解因式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 5 题，考查一元二次不等式的解法及解集在数轴上的表示。

2. 结论推广：解一元二次不等式组，先分别解出每个不等式的解集，再在数轴上取交集。一般地，对 $\{\begin{array}{l}{x}^2\le M^2\\ (x-x_1)(x-x_2)>0\end{array}(M>0,x_1<x_2)$，若 $-M<x_1<x_2<M$，则解集为 $[-M,x_1)\cup (x_2,M]$。本题 $M=4,x_1=-2,x_2=3$，得 $[-4,-2)\cup (3,4]$。

🔗【关联脉络】

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