1977-上海理-03 解-相切圆的性质

本题导读

本题考查相切圆的性质，以及正弦定理、余弦定理解三角形。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 已知圆 $A$ 的直径为 $2\sqrt{3}$，圆 $B$ 的直径为 $4-2\sqrt{3}$，圆 $C$ 的直径为 $2$，圆 $A$ 与圆 $B$ 外切，圆 $A$ 又与圆 $C$ 外切，$\angle A=60^{\circ }$，求 $BC$ 及 $\angle C$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直径转化为半径：三个圆的直径分别除以 $2$，得半径 $r_A,r_B,r_C$。
2. 两圆外切确定边长：两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，将圆心 $A,B,C$ 连成 $△ABC$。

• $AB=r_A+r_B$；
• $AC=r_A+r_C$。

3. 余弦定理求 $BC$：在 $△ABC$ 中已知两边 $AB,AC$ 及夹角 $\angle A=60^{\circ }$，由余弦定理 $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A$ 求 $BC$。

4. 正弦定理求 $\angle C$：由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ 求出 $\sin C$，再确定 $\angle C$。

✅【答案】

Success

$BC=\sqrt{6},\angle C=45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：计算三个圆的半径 由直径得半径： $r_A=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ $r_B=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$ $r_C=\frac{2}{2}=1$

• 第二步：利用两圆外切的位置关系确定 $△ABC$ 的边长 因为圆 $A$ 与圆 $B$ 外切，圆 $A$ 与圆 $C$ 外切，所以圆心连线构成的 $△ABC$ 的两边为： $AB=r_A+r_B=\sqrt{3}+(2-\sqrt{3})=2$ $AC=r_A+r_C=\sqrt{3}+1$

• 第三步：用余弦定理求 $BC$ 在 $△ABC$ 中，已知 $AB=2,AC=\sqrt{3}+1$，夹角 $\angle A=60^{\circ }$。 根据余弦定理： $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A$

代入 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$： $B{C}^2=2^2+(\sqrt{3}+1{)}^2-2\times 2\times (\sqrt{3}+1)\times \frac{1}{2}$ $B{C}^2=4+(3+2\sqrt{3}+1)-2(\sqrt{3}+1)$ $B{C}^2=4+4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2$

其中 $+2\sqrt{3}$ 与 $-2\sqrt{3}$ 相消： $B{C}^2=8-2=6$

开方得（边长取正值）： $BC=\sqrt{6}$

• 第四步：用正弦定理求 $\angle C$ 根据正弦定理： $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}⟹\sin C=\frac{AB\cdot \sin A}{BC}$

代入 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\sin C=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

在 $△ABC$ 中，$AB=2<\sqrt{6}=BC$，由大边对大角得： $\angle C<\angle A⟹\angle C<60^{\circ }$

所以 $\angle C$ 是满足 $\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的锐角： $\angle C=45^{\circ }$

所以： $BC=\sqrt{6},\angle C=45^{\circ }$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两圆外切的圆心距关系，余弦定理求边，正弦定理求角。
2. 核心方法：余弦定理、正弦定理。
3. 避坑指南：

• 直径与半径混淆：题目给的是直径 $2\sqrt{3},4-2\sqrt{3},2$，要先除以 $2$ 得半径，不能直接当作半径求和。

• $\angle C$ 的多解性：由 $\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 可得 $45^{\circ }$ 或 $135^{\circ }$，需由 $AB<BC$ 得 $\angle C<\angle A=60^{\circ }$，舍去 $135^{\circ }$，取 $\angle C=45^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 3 题，考查两圆外切的位置关系，以及正弦定理、余弦定理解三角形。

2. 结论推广：三圆两两外切时，圆心构成的三角形三边分别等于对应两圆半径之和。可先由直径求半径，再用余弦定理求第三边，用正弦定理求角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

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