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1977-上海理-02 解-角平分线的性质

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本题导读

本题考查角平分线的性质、平行线的性质与相似三角形的综合应用。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 在 中， 的平分线交 于 , 过 作 的平行线交 于 , 已知 , 求 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

  1. 利用平行与角平分线构造等腰三角形：
  • 已知 平分 ，则 。
  • 已知 ，根据平行线的性质可得内错角相等，即 。
  • 于是 ，故 为等腰三角形，。
  1. 利用平行得相似三角形：
  • 因为 ，由平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似，得 。
  • 由相似三角形对应边成比例，得 。

  1. 代入求 ：将 以及 代入比例式，得 ，解出 。

✅【答案】

Success

✍【详细解析】

Abstract

  • 第一步：利用平行线与角平分线性质证明 为等腰三角形 因为 是 的平分线，根据角平分线定义可得：

又因为 直线 ，根据两直线平行，内错角相等的性质可得：

由 ①、② 两式得：

在 中，由等角对等边，得：

  • 第二步：利用平行线判定相似三角形并建立比例式 在 中，因为 ，所以：

由相似三角形对应边成比例，得：

  • 第三步：代入求 由图形可知 ，结合 ③ 式 ，得：

将 以及 代入 ④ 式：

  • 第四步：解一元一次方程求 交叉相乘得：

移项合并同类项：

因为 为三角形边长，，两边同除以 ，得：

所以， 的长为：

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  1. 核心考点：角平分线与平行线组合下的等腰三角形判定、平行线型相似三角形（A字型相似）的比例计算。
  2. 核心方法：等量代换法、相似比法。
  3. 避坑指南：

  • 误认为 是中点： 不是 的中点，不能直接写 。只有当 是 的中点（即 是中位线）时， 才成立。本题 是角平分线与 的交点，不是中点，须通过相似比例求解。

  • 结果形式不规范：本题为字母型求解题，最终结果要用已知字母 的最简分式 表示。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 2 题，考查角平分线性质、平行线性质与相似三角形的综合应用。

  2. 结论推广：由角平分线和平行线可先推出 ，再由 建立比例式。一般地，处理这类”角平分线+平行线”问题时，先构造等腰三角形，再利用相似比列方程求解。本题结论 等价于 。

🔗【关联脉络】

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