2006-陕西卷理-20 解-等比中项的性质

本题导读

本题考查数列前 $n$ 项和与通项之间的递推关系。核心在于通过 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ 消除前 $n$ 项和，构造出关于 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1}$ 的代数方程，利用因式分解及正项数列的特征判定其为等差数列，最后结合等比中项条件锁定具体通项。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)）已知正项数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $10 S_{n} = a_{n}^{2} + 5 a_{n} + 6$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{15}$ 成等比数列，求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

求解首项 $a_{1}$ ：在已知递推式中令 $n = 1$ ，利用 $S_{1} = a_{1}$ 建立关于 $a_{1}$ 的一元二次方程，结合正项数列约束求出 $a_{1}$ 的可能取值（包含参数）。 消去 $S_{n}$ 构筑递推：当 $n \geq 2$ 时，利用 $10 S_{n} = a_{n}^{2} + 5 a_{n} + 6$ 与 $10 S_{n - 1} = a_{n - 1}^{2} + 5 a_{n - 1} + 6$ 作差，根据 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ ，得到关于 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1}$ 的代数恒等式。 判定等差性质：将作差后的多项式进行因式分解，利用正项数列 $a_{n} + a_{n - 1} + 5 > 0$ 这一刚性条件排除多余分支，确定 $a_{n} - a_{n - 1} = 5$ 恒成立，从而判定其为等差数列。 定值求通项：根据等比中项性质 $a_{3}^{2} = a_{1} \cdot a_{15}$ ，将等差数列通项代入，反解出首项，最终确定完整的通项公式。

✅【答案】

Success

$a_{n} = 5 n - 3$ ．

✍【详细解析】

Abstract

解：当 $n = 1$ 时，由 $S_{1} = a_{1}$ 代入原递推式可得： $10 a_{1} = a_{1}^{2} + 5 a_{1} + 6 ⟹ a_{1}^{2} - 5 a_{1} + 6 = 0$ 因式分解得 $(a_{1} - 2) (a_{1} - 3) = 0$ ，解得： $a_{1} = 2 或 a_{1} = 3$

当 $n \geq 2$ 时，根据已知条件，前 $n$ 项和满足： $10 S_{n} = a_{n}^{2} + 5 a_{n} + 6 (1)$ 则前 $n - 1$ 项和必然满足： $10 S_{n - 1} = a_{n - 1}^{2} + 5 a_{n - 1} + 6 (2)$

将 ① 式与 ② 式左右两边对应相减： $10 (S_{n} - S_{n - 1}) = (a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2}) + 5 (a_{n} - a_{n - 1})$ 由于 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ ，代入上式中： $10 a_{n} = (a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n} + a_{n - 1}) + 5 (a_{n} - a_{n - 1})$ 移项合并同类项，对右侧提取公因式 $(a_{n} - a_{n - 1})$ ： $10 a_{n} = (a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n} + a_{n - 1} + 5)$ 展开并进一步向左移项整理： $10 a_{n} = a_{n} (a_{n} + a_{n - 1} + 5) - a_{n - 1} (a_{n} + a_{n - 1} + 5)$ $a_{n}^{2} + a_{n} a_{n - 1} + 5 a_{n} - 10 a_{n} - a_{n} a_{n - 1} - a_{n - 1}^{2} - 5 a_{n - 1} = 0$ $a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} - 5 a_{n} - 5 a_{n - 1} = 0$ 对前两项用平方差，后两项提取 $- 5$ ： $(a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n} + a_{n - 1}) - 5 (a_{n} + a_{n - 1}) = 0$ 提取公因式 $(a_{n} + a_{n - 1})$ ： $(a_{n} + a_{n - 1}) (a_{n} - a_{n - 1} - 5) = 0$

因为已知 ${a_{n}}$ 是正项数列，对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n} > 0$ ，所以： $a_{n} + a_{n - 1} > 0$ 因此，两边同除以 $(a_{n} + a_{n - 1})$ 必有： $a_{n} - a_{n - 1} - 5 = 0 ⟹ a_{n} - a_{n - 1} = 5 (n \geq 2)$ 根据等差数列的定义，数列 ${a_{n}}$ 是一个公差为 $d = 5$ 的等差数列。

由此写出数列 ${a_{n}}$ 的通项表达式（关于首项 $a_{1}$ ）： $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = a_{1} + 5 (n - 1)$ 从而可求得对应的项为： $a_{3} = a_{1} + 2 \times 5 = a_{1} + 10$ $a_{15} = a_{1} + 14 \times 5 = a_{1} + 70$

因为已知 $a_{1}, a_{3}, a_{15}$ 成等比数列，根据等比中项的性质： $a_{3}^{2} = a_{1} \cdot a_{15}$ 将含 $a_{1}$ 的代数式代入上式中： $(a_{1} + 10)^{2} = a_{1} (a_{1} + 70)$ 展开多项式： $a_{1}^{2} + 20 a_{1} + 100 = a_{1}^{2} + 70 a_{1}$ 两边消去 $a_{1}^{2}$ ，移项化简一次方程： $50 a_{1} = 100 ⟹ a_{1} = 2$

对照开头求出的 $a_{1}$ 初始解（ $a_{1} = 2$ 或 $a_{1} = 3$ ），确定首项只能取： $a_{1} = 2$

将 $a_{1} = 2, d = 5$ 代回等差数列通项公式中： $a_{n} = 2 + 5 (n - 1) = 5 n - 3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由 $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 递推关系作差构造项次方程、多项式因式分解判定等差数列、等比中项性质方程的求解。

核心方法：作差消和法、因式分解法。

避坑指南：

当 $n = 1$ 时算出的 $a_{1} = 2$ 或 $3$ 是两个并列的分支，不能在第一步就想当然地漏掉任何一个。必须在最后利用等比中项方程解出 $a_{1} = 2$ 后，再回过头来完成逻辑闭环的筛选。

作差化简时， $10 a_{n} = (a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n} + a_{n - 1} + 5)$ 展开移项要准确，利用 $a_{n} + a_{n - 1} > 0$ 进行两边约分是判定等差的关键突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查数列求通项最典型的非线性大题模型，重点考查通过前后项次作差实现从“和序列”向“项递推”的降维过渡。结论推广: 针对任何形如 $2 p \cdot S_{n} = a_{n}^{2} + p \cdot a_{n} + q$ 的前 $n$ 项和递推模型，若其各项均为正数，则该数列在 $n \geq 2$ 时必然退化为公差为 $p$ 的标准等差数列。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.03 数列通项公式求法全攻略

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2007-天津文-20 解-递推构造等比数列

2008-陕西文-20 解-递推构造与错位相减

∑ ( Math )

Explorer

2006-陕西卷理-20 解-等比中项的性质

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks